Seja f uma função definida por f(x)=llx^2, & x <= 2 a x+b, & x>2 onde a, b são constantes. Encontre valores de a e de b para que f^prime(2) exista.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida em duas partes
f(x)= x^2, & x <= 2, a x + b, & x > 2,
e pede para que f'(2) exista.
Para isso, precisamos de duas coisas em x=2:
  1. Continuidade de f, pois derivável implica contínua.
  2. Igualdade das derivadas laterais, ou seja, limxto2^-f'(x)=limxto2^+f'(x).

Passo 2

Impondo a continuidade em x=2, igualamos os valores à esquerda e à direita:
underbrace2^2f(2^-) ;=;underbrace2a + bf(2^+) Longrightarrow 2a + b = 4

Passo 3

Calculamos as derivadas laterais em x=2:
  • Para x<2, f(x)=x^2 e
f'(x)=2x Longrightarrow f'(2^-)=2cdot2=4
  • Para x>2, f(x)=a x + b e
f'(x)=a Longrightarrow f'(2^+)=a
Igualando-as para existir f'(2):
a = 4

Passo 4

Substituindo a=4 na condição de continuidade 2a+b=4:
2cdot4 + b = 4 Longrightarrow 8 + b = 4 Longrightarrow b = -4

Resposta

a = 4 e b = -4.

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