Questão 9. Qual a maior área possivel de um retângulo de base
e altura
tal que
?
Passo 1
O enunciado pede a maior área possível de um retângulo cuja base mede
e altura mede
, sujeita à condição de que os pontos
satisfazem
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis com restrição, e vamos usar substituição (ou equivalently reduzir a uma variável) e derivadas para encontrar o máximo.
Passo 2
Expressamos a área
em função de
e
:
Como
e
, da restrição
podemos isolar
Logo definimos a função de uma única variável
Passo 3
Para achar o extremo, calculamos a derivada de
. É mais fácil derivar o quadrado da área, mas vamos direto em
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia,
Simplificando cada termo:
Para
basta o numerador dar zero, pois o denominador é positivo em
:
Passo 4
Precisamos garantir que esse ponto seja um máximo. Como
para
e
para
, trata-se de um máximo local que é também global no intervalo. Calculamos então
A área máxima é
Resposta
A maior área possível é
.