Questão 9. Qual a maior área possivel de um retângulo de base 2 x e altura y tal que x^2+y^2=1 ?

Passo 1

O enunciado pede a maior área possível de um retângulo cuja base mede 2x e altura mede y, sujeita à condição de que os pontos (x,y) satisfazem
x^2+y^2=1
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis com restrição, e vamos usar substituição (ou equivalently reduzir a uma variável) e derivadas para encontrar o máximo.

Passo 2

Expressamos a área A em função de x e y:
A = (base)times(a<ura) = 2x,y
Como y>=0 e x>=0, da restrição
x^2+y^2=1
podemos isolar
y = raiz1 - x^2
Logo definimos a função de uma única variável
A(x) = 2x,raiz1 - x^2, 0<= x<=1

Passo 3

Para achar o extremo, calculamos a derivada de A(x). É mais fácil derivar o quadrado da área, mas vamos direto em A(x):
A(x) = 2x,(1 - x^2)^1/2
Usando a regra do produto e a regra da cadeia,
A'(x) = 2,(1 - x^2)^1/2 + 2xcdot12,(1 - x^2)^-1/2,(-2x)
Simplificando cada termo:
A'(x) = 2raiz1 - x^2 - 2x^2raiz1 - x^2 = 2(1 - x^2) - 2x^2raiz1 - x^2 = 2 - 4x^2raiz1 - x^2
Para A'(x)=0 basta o numerador dar zero, pois o denominador é positivo em (0,1):
2 - 4x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = tfrac12 Longrightarrow x = 1raiz2

Passo 4

Precisamos garantir que esse ponto seja um máximo. Como A'(x)>0 para 0<x<1/raiz2 e A'(x)<0 para 1/raiz2<x<1, trata-se de um máximo local que é também global no intervalo. Calculamos então
y = raiz1 - x^2 = raiz1 - tfrac12 = 1raiz2
A área máxima é
Amax = 2x,y = 2cdot1raiz2cdot1raiz2 =2cdot12 =1

Resposta

A maior área possível é 1.

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