Resolver a equação diferencial dada por coeficientes indeterminados.
y^prime prime prime+6 y^prime prime=3-cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y''' + 6,y'' = 3 - cos x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois obtemos uma solução particular para o termo não-homogêneo 3 - cos x.

Passo 2

Resolvemos a parte homogênea
y''' + 6,y'' = 0
A equação característica é
r^3 + 6r^2 = r^2(r + 6) = 0,
cujas raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=-6. Logo, a solução geral homogênea é
yh = C1 + C2,x + C3,e^-6x

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp1 para o termo constante 3. Como um polinômio de grau até 1 já está na solução homogênea, tentamos
yp1 = A,x^2
Então
yp1'' = 2A, yp1''' = 0 Longrightarrow yp1''' + 6,yp1'' = 6cdot 2A = 12A
Para que isso seja igual a 3, impomos 12A = 3, logo
A = tfrac14 Longrightarrow yp1 = tfrac14,x^2

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp2 para -cos x. Fazemos o palpite
yp2 = Bcos x + Csin x
Calculando derivadas:
yp2'' = -Bcos x - Csin x, yp2''' = Bsin x - Ccos x
Então
yp2''' + 6,yp2'' = (Bsin x - Ccos x) + 6(-Bcos x - Csin x) = (-C - 6B)cos x + (B - 6C)sin x
Queremos isso igual a -cos x, ou seja
-C - 6B = -1, B - 6C = 0
Da segunda equação B=6C. Substituindo na primeira,
-,C - 6,(6C) = -1 ;Longrightarrow; -37C = -1 ;Longrightarrow; C = tfrac137, B = tfrac637
Assim
yp2 = 637cos x + 137sin x

Passo 5

A solução particular total é
yp = yp1 + yp2 = 14,x^2 + 637cos x + 137sin x
Logo, a solução geral da equação dada é
y(x) = yh + yp = C1 + C2,x + C3,e^-6x + 14,x^2 + 637cos x + 137sin x

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2,x + C3,e^-6x + 14,x^2 + 637cos x + 137sin x

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