Resolver a equação diferencial dada por coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois obtemos uma solução particular para o termo não-homogêneo
.
Passo 2
Resolvemos a parte homogênea
A equação característica é
cujas raízes são
(multiplicidade 2) e
. Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo constante
. Como um polinômio de grau até 1 já está na solução homogênea, tentamos
Então
Para que isso seja igual a
, impomos
, logo
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para
. Fazemos o palpite
Calculando derivadas:
Então
Queremos isso igual a
, ou seja
Da segunda equação
. Substituindo na primeira,
Assim
Passo 5
A solução particular total é
Logo, a solução geral da equação dada é