Considere a função z=f(x, y)=14 raizx^2+y^2.
a. (2,0 pontos) Encontre as equações das curvas de nível para k=0, 14, 12, 34.
b. (1,34 ponto) Represente graficamente as curvas de nível.

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função
f(x,y)=14raizx^2+y^2
para os valores k=0,;tfrac14,;tfrac12,;tfrac34. Estamos no tema “curvas de nível de funções de duas variáveis” e, para cada k, basta resolver a equação
f(x,y)=k

Passo 2

Escrevendo
14raizx^2+y^2=k
multiplicamos ambos os lados por 4 e elevamos ao quadrado:
raizx^2+y^2=4k Longrightarrow x^2+y^2=(4k)^2=16k^2
Portanto, a curva de nível f(x,y)=k é a circunferência de centro na origem e raio 4k.

Passo 3

Agora basta substituir cada valor de k:
k=0:& x^2+y^2=16cdot0^2=0, k=tfrac14:& x^2+y^2=16l(tfrac14r)^2=16cdottfrac116=1, k=tfrac12:& x^2+y^2=16l(tfrac12r)^2=16cdottfrac14=4, k=tfrac34:& x^2+y^2=16l(tfrac34r)^2=16cdottfrac916=9

Passo 4

Para representar graficamente, basta desenhar no plano xy círculos concêntricos centrados em (0,0) com raios
0,;1,;2,;3
respectivamente. O caso k=0 é apenas o ponto (0,0); os demais são circunferências de raio 1, 2 e 3.

Resposta

k=0:;x^2+y^2=0
k=tfrac14:;x^2+y^2=1
k=tfrac12:;x^2+y^2=4
k=tfrac34:;x^2+y^2=9
Gráfico: círculos de raios 0,1,2,3 concêntricos em torno da origem.

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