A superfície de uma certa montanha pode ser modelada pela equação
, em que a distância é medida em metros, o eixo
aponta para o leste e o eixo
aponta para o norte. Uma alpinista se encontra na superfície da montanha, na altura
, correspondente ao ponto
da base:
a) Neste ponto
, qual direção deve seguir a alpinista para que a subida seja mais íngreme?
b) Ainda em
, se a alpinista se mover na direção leste, ela irá subir ou descer a montanha? Neste caso, qual a taxa de variação da altura?
c) Em
, qual(is) direção(ões) ela pode tomar para se deslocar sobre uma curva de nível?
a) Neste ponto
b) Ainda em
c) Em
Passo 1
O enunciado apresenta a superfície da montanha
com
no sentido leste e
no sentido norte. A alpinista está no ponto
, onde
. Precisamos usar o gradiente para encontrar:
– (a) direção de subida mais íngreme,
– (b) derivada direcional na direção leste,
– (c) direções de movimento ao longo de uma curva de nível.
– (a) direção de subida mais íngreme,
– (b) derivada direcional na direção leste,
– (c) direções de movimento ao longo de uma curva de nível.
Passo 2
A função altura é
. O gradiente é
Em
temos
A direção de subida mais íngreme é a do próprio gradiente. O versor dessa direção é
Passo 3
Para a direção leste usamos o versor
. A derivada direcional é
Como é positivo, a alpinista sobe a montanha na direção leste, à taxa de
metros de altura por metro percorrido.
Passo 4
Movimentar-se ao longo de uma curva de nível significa andar perpendicular ao gradiente. Se
é tangente ao nível, então
Uma escolha simples é
(ou o seu oposto), e o versor correspondente é
.
Resposta
(a) Na direção do gradiente
, isto é, pelo versor
.
(b) Ela sobe; a taxa de variação é m/m.
(c) Em qualquer direção ortogonal ao gradiente, por exemplo pelo versor (ou seu oposto).
(b) Ela sobe; a taxa de variação é
(c) Em qualquer direção ortogonal ao gradiente, por exemplo pelo versor