A superfície de uma certa montanha pode ser modelada pela equação z=1200-3 x^2-2 y^2, em que a distância é medida em metros, o eixo x aponta para o leste e o eixo y aponta para o norte. Uma alpinista se encontra na superfície da montanha, na altura z=850, correspondente ao ponto Q(-10,5) da base:
a) Neste ponto Q, qual direção deve seguir a alpinista para que a subida seja mais íngreme?
b) Ainda em Q, se a alpinista se mover na direção leste, ela irá subir ou descer a montanha? Neste caso, qual a taxa de variação da altura?
c) Em Q, qual(is) direção(ões) ela pode tomar para se deslocar sobre uma curva de nível?

Passo 1

O enunciado apresenta a superfície da montanha
z = 1200 - 3x^2 - 2y^2
com x no sentido leste e y no sentido norte. A alpinista está no ponto Q(-10,5), onde z=850. Precisamos usar o gradiente para encontrar:
– (a) direção de subida mais íngreme,
– (b) derivada direcional na direção leste,
– (c) direções de movimento ao longo de uma curva de nível.

Passo 2

A função altura é f(x,y)=1200-3x^2-2y^2. O gradiente é
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(-6x,,-4y)
Em Q(-10,5) temos
nabla f(-10,5)=(-6cdot(-10),,-4cdot5)=(60,,-20)
A direção de subida mais íngreme é a do próprio gradiente. O versor dessa direção é
umax=1raiz60^2+(-20)^2,(60,,-20) =1raiz4000,(60,,-20) =1raiz10,(3,,-1)

Passo 3

Para a direção leste usamos o versor e=(1,0). A derivada direcional é
Def(-10,5)=nabla f(-10,5)cdot(1,0)=60cdot1+(-20)cdot0=60
Como é positivo, a alpinista sobe a montanha na direção leste, à taxa de 60 metros de altura por metro percorrido.

Passo 4

Movimentar-se ao longo de uma curva de nível significa andar perpendicular ao gradiente. Se v=(v1,v2) é tangente ao nível, então
nabla f(-10,5)cdotv=60,v1+(-20),v2=0 Longrightarrow 60v1-20v2=0
Longrightarrow v2=3v1
Uma escolha simples é v=(1,3) (ou o seu oposto), e o versor correspondente é
tfrac1raiz10,(1,3).

Resposta

(a) Na direção do gradiente nabla f(-10,5)=(60,-20), isto é, pelo versor tfrac1raiz10(3,-1).
(b) Ela sobe; a taxa de variação é D(1,0)f(-10,5)=60 m/m.
(c) Em qualquer direção ortogonal ao gradiente, por exemplo pelo versor tfrac1raiz10(1,3) (ou seu oposto).

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