(valor: 1,5 ) Verifique se
é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em
.
Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade: existe um mapa linear tal que, escrevendo
,
Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade: existe um mapa linear
Precisamos então (i) calcular
, (ii) encontrar as parciais em
para definir
, e (iii) mostrar que o resto é pequeno em comparação com
.
Passo 2
Calculamos primeiro o valor de
no ponto
. Como
e
,
Passo 3
Agora as derivadas parciais em
:
Em
isso dá
Logo o candidato a aproximar
é
Passo 4
Definimos o resto
Para ver que
, note que, para
,
fica perto de
, então existe
tal que
Mas
Logo
o que prova a diferenciabilidade.
Resposta
A função é diferenciável em
. O diferencial é