(valor: 1,5 ) Verifique se f(x, y)=yx-1 é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=yx-1
é diferenciável em (0,0).
Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade: existe um mapa linear L tal que, escrevendo (x,y)=(0+h,0+k),
f(0+h,0+k)-f(0,0)-L(h,k)=ol(raizh^2+k^2r)
Precisamos então (i) calcular f(0,0), (ii) encontrar as parciais em (0,0) para definir L, e (iii) mostrar que o resto é pequeno em comparação com raizh^2+k^2.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor de f no ponto (0,0). Como x-1=-1 e y=0,
f(0,0)=00-1=0

Passo 3

Agora as derivadas parciais em (0,0):
partial fpartial x(x,y) =partialpartial x!l(yx-1r) =-y(x-1)^2, partial fpartial y(x,y) =1x-1
Em (0,0) isso dá
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=-1
Logo o candidato a aproximar f é
L(h,k)=0cdot h+(-1)cdot k=-k

Passo 4

Definimos o resto
R(h,k) =f(h,k)-f(0,0)-L(h,k) =kh-1+k =kl(1h-1+1r) =kh,h-1,
Para ver que R(h,k)=o(raizh^2+k^2), note que, para (h,k)to(0,0), |h-1| fica perto de 1, então existe C>0 tal que
|R(h,k)|<= C,|h,k|
Mas
|h,k|raizh^2+k^2 <=tfrac12(h^2+k^2)raizh^2+k^2 =tfrac12raizh^2+k^2 ;longrightarrow;0
Logo
R(h,k)raizh^2+k^2to0,
o que prova a diferenciabilidade.

Resposta

A função é diferenciável em (0,0). O diferencial é
df(0,0)(h,k)=-k

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