Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equaçāo diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
Apresente um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^5 x+C2 x e^5 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + alpha,y' + beta,y = 0
e pede que escolhamos (alpha,beta) de modo que a solução geral seja
y(x)=C1e^5x+C2,x,e^5x
Aqui o conteúdo é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à equação:
r^2 + alpha,r + beta = 0

Passo 3

Como a solução geral inclui e^5x e x,e^5x, o polinômio característico deve ter raiz dupla em r=5. Ou seja,
r1=r2=5

Passo 4

Para um polinômio r^2+alpha r+beta com raízes iguais a 5 e 5, vale:
r1+r2 = 5+5 = 10 = -alpha,
r1r2 = 5cdot5 = 25 = beta
Logo,
alpha = -10 e beta = 25.

Resposta

alpha=-10,;beta=25

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