(1,0) Considere a função f(x)=(1+5k x-2)^4 x. Sabendo que lim x infty f(x)=e^10, determine o valor de k.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=l(1+5k x-2r)^4x
e informa que
limxtoinftyf(x)=e^10
O conteúdo é cálculo de limite exponencial do tipo (1+u(x))^v(x), usando a equivalência ln(1+u)sim u para uto0.

Passo 2

Para usar essa equivalência, calculamos o logaritmo de f(x):
ln f(x)=4x;ln!l(1+5k x-2r)

Passo 3

Como xtoinfty, temos 5k x-2to0, então
ln!l(1+5k x-2r)sim5k x-2
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ln f(x)sim4xcdot5k x-2=20xk x-2

Passo 4

Tomando o limite,
limxtoinftyln f(x) =limxtoinfty20xk x-2 =20k
Como limxtoinftyf(x)=expl(limln f(x)r), segue
limxtoinftyf(x)=e^20/k

Passo 5

Impondo e^20/k=e^10 obtemos
20k=10 Longrightarrow k=2

Resposta

k=2.

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