(5,0) Considere a função dada por: f(x)=lrsen 3 xx & x<0 3 3^x-1x & x=0 (1+x)^1x & x>1
a) Calcule os limites laterais de f(x) quando x tende a 0 ;
b) Determine se existe lim x 0 f(x);
c) Determine se a função f(x) é contínua em x=0;
d) Calcule os limites laterais de f(x) quando x tende a 1;
e) A função é contínua em x=1 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= dfracsin(3x)x,&x<0,[6pt] 3,dfrac3^x-1x,&0<x<1,[6pt] (1+x)^tfrac1x,&x>1,
e pede:
a) limxto0^-f(x) e limxto0^+f(x);
b) existência de limxto0f(x);
c) continuidade em x=0;
d) limxto1^-f(x) e limxto1^+f(x);
e) continuidade em x=1.
Iremos usar os limites fundamentais
limuto0sin uu=1,
limhto0a^h-1h=ln a
e a definição de continuidade (limite lateral igual ao valor da função).]

Passo 2

Calcular limxto0^-f(x).
Para x<0 vale f(x)=sin(3x)x. Escrevemos
sin(3x)x =;3;sin(3x)3x
e como limtto0sin tt=1, ao fazer t=3xto0 obtemos
limxto0^-sin(3x)x =3cdot1 =3

Passo 3

Calcular limxto0^+f(x).
Para 0<x<1 vale f(x)=3,3^x-1x. Usamos
limxto03^x-1x=ln3. Logo
limxto0^+3,3^x-1x =3cdotln3

Passo 4

Determinar se limxto0f(x) existe e continuidade em 0.
Os limites laterais são
limxto0^-f(x)=3 e limxto0^+f(x)=3ln3.
Como 3neq3ln3, o limite bilateral não existe e, portanto, f não é contínua em x=0.

Passo 5

Calcular limxto1^-f(x).
Para x<1 na região direita de zero usamos a mesma expressão do passo 3 estendida até 1:
limxto1^-f(x) =limxto1^-3,3^x-1x =3,3^1-11 =3cdot2 =6

Passo 6

Calcular limxto1^+f(x).
Para x>1 vale f(x)=(1+x)^1/x, que é contínua em x=1. Logo
limxto1^+(1+x)^1/x =(1+1)^1/1 =2

Passo 7

Determinar continuidade em x=1.
Os limites laterais em x=1 são 6 (à esquerda) e 2 (à direita), diferentes entre si, logo não há limite em 1 e f não é contínua em x=1.

Resposta

a) limxto0^-f(x)=3, limxto0^+f(x)=3ln3
b) Não existe limxto0f(x).
c) f não é contínua em x=0.
d) limxto1^-f(x)=6, limxto1^+f(x)=2
e) f não é contínua em x=1.

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