Faça em uma mesma tela os gráficos das funções dadas. Como esses gráficos estão relacionados?
y=2^x, y=e^x, y=5^x, y=20^x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no mesmo plano de coordenadas as quatro funções
y=2^x, y=e^x, y=5^x, y=20^x
e entender como esses gráficos se relacionam. O conteúdo aqui é funções exponenciais de base maior que 1. Para resolver, vamos lembrar as propriedades gerais de y=a^x e depois comparar as curvas.

Passo 2

Toda função do tipo y=a^x com a>1:
  1. Passa por (0,1) porque a^0=1.
  2. Tem assíntota horizontal y=0 à medida que xto -infty.
  3. É estritamente crescente em todo R.
    Logo, cada uma das quatro curvas satisfaz esses três pontos e só difere na “inclinação” da subida.

Passo 3

Como todas passam por (0,1) e têm a mesma assíntota y=0, no ponto x=0 elas se cruzam. Para x>0, bases maiores geram valores maiores; para x<0, bases maiores geram valores menores, invertendo a ordem.

Passo 4

Em particular, para x>0 vale
2^x < e^x < 5^x < 20^x,
e para x<0 inverte-se:
2^x > e^x > 5^x > 20^x

Passo 5

Escrevendo a^x=e^xln a, vemos que o gráfico de y=a^x é justamente o gráfico de y=e^x comprimido ou esticado horizontalmente pelo fator 1/ln a. Como
ln2<1<ln5<ln20,
a curva 2^x é mais “esticada” que e^x, e as curvas 5^x e 20^x são cada vez mais “comprimidas”, ficando progressivamente mais íngremes para x>0.

Resposta

Os quatro gráficos são curvas exponenciais que se cruzam em (0,1) e têm assíntota y=0. Eles se diferenciam pela taxa de crescimento: para x>0 a ordem é 2^x<e^x<5^x<20^x. Além disso, cada y=a^x é uma versão de y=e^x comprimida (se ln a>1) ou esticada (se ln a<1) na direção x.

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