Faça em uma mesma tela os gráficos das funções dadas. Como esses gráficos estão relacionados?
Passo 1
O enunciado pede para desenhar no mesmo plano de coordenadas as quatro funções
e entender como esses gráficos se relacionam. O conteúdo aqui é funções exponenciais de base maior que 1. Para resolver, vamos lembrar as propriedades gerais de
e depois comparar as curvas.
Passo 2
Toda função do tipo
com
:
- Passa por
porque . - Tem assíntota horizontal
à medida que . - É estritamente crescente em todo
.
Logo, cada uma das quatro curvas satisfaz esses três pontos e só difere na “inclinação” da subida.
Passo 3
Como todas passam por
e têm a mesma assíntota
, no ponto
elas se cruzam. Para
, bases maiores geram valores maiores; para
, bases maiores geram valores menores, invertendo a ordem.
Passo 4
Em particular, para
vale
e para
inverte-se:
Passo 5
Escrevendo
, vemos que o gráfico de
é justamente o gráfico de
comprimido ou esticado horizontalmente pelo fator
. Como
,
a curva é mais “esticada” que
, e as curvas
e
são cada vez mais “comprimidas”, ficando progressivamente mais íngremes para
.
a curva
Resposta
Os quatro gráficos são curvas exponenciais que se cruzam em
e têm assíntota
. Eles se diferenciam pela taxa de crescimento: para
a ordem é
. Além disso, cada
é uma versão de
comprimida (se
) ou esticada (se
) na direção
.