Questão. Use o seguinte modelo . sendo que é a temperatura do ar considerada constante e é a temperatura em qualquer instante .
(25 pontos) a) Encontre a expressão cla solução geral , isto é, a temperatura em qualquer instante .
( 25 pontos) b) Se a temperatura do ar é , e um corpo material se resfria em 20 minutos de para . dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para ?
Passo 1
O enunciado apresenta a lei do resfriamento de Newton, dada pela equação diferencial
onde é a temperatura do ambiente (constante) e é a temperatura do corpo no instante .
(a) pede a solução geral .
(b) dá , , e diz que em min temos ; pergunta em que tempo .
Passo 2
Para achar a solução geral usamos separação de variáveis.
Separando as variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde C1 é constante de integração. Exponenciando,
T-Ta = C,e^Kt,
em que definimos C = pm e^C1. Portanto a solução geral é
T(t) = Ta + C,e^Kt
Passo 3
Agora usamos as condições iniciais para determinar C e K. Em t=0, T(0)=100, logo
100 = 20 + C ,e^Kcdot0 Longrightarrow C = 100 - 20 = 80