^n Questão. Use o seguinte modelo d Td t=K(T-Ta). sendo que Ta é a temperatura do ar considerada constante e T(t) é a temperatura em qualquer instante t.
(25 pontos) a) Encontre a expressão cla solução geral T(t), isto é, a temperatura em qualquer instante t.
( 25 pontos) b) Se a temperatura do ar é 20^circ C, e um corpo material se resfria em 20 minutos de 100^circ C para 60^circ C. dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 40^circ C ?

Passo 1

O enunciado apresenta a lei do resfriamento de Newton, dada pela equação diferencial
dTdt=Kl(T-Tar),
onde ,Ta é a temperatura do ambiente (constante) e T(t) é a temperatura do corpo no instante t.
(a) pede a solução geral T(t).
(b) dá Ta=20^circ C, T(0)=100^circ C, e diz que em t=20 min temos T(20)=60^circ C; pergunta em que tempo T(t)=40^circ C.

Passo 2

Para achar a solução geral usamos separação de variáveis.
Separando as variáveis:
dTT-Ta=K,dt
Integramos ambos os lados:
integral dTT-Ta = integral K,dt Longrightarrow lnl|T-Tar| = Kt + C1,
onde C1 é constante de integração. Exponenciando,
T-Ta = C,e^Kt,
em que definimos C = pm e^C1. Portanto a solução geral é
T(t) = Ta + C,e^Kt

Passo 3

Agora usamos as condições iniciais para determinar C e K. Em t=0, T(0)=100, logo
100 = 20 + C ,e^Kcdot0 Longrightarrow C = 100 - 20 = 80
Em t=20 min, T(20)=60, então
60 = 20 + 80,e^20K Longrightarrow 80,e^20K = 40 Longrightarrow e^20K = tfrac12 Longrightarrow 20K = ln!tfrac12 = -ln2
e portanto
K = -ln220

Passo 4

Para achar o tempo t tal que T(t)=40, usamos
40 = 20 + 80,e^Kt Longrightarrow 80,e^Kt = 20 Longrightarrow e^Kt = tfrac14 Longrightarrow Kt = ln!tfrac14 = -2ln2
Como K = -ln220, segue
t = -2ln2K = -2ln2-tfracln220 = 40

Resposta

(a) T(t) = Ta + C,e^Kt.
(b) t = 40 minutos.

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