Considere a função f(x)=1x^2+2 x definida no intervalo (0, infty).
a) Determine uma primitiva para f usando o método das frações parciais.
b) Verifique que a integral de f pode ser escrita na forma integral 1 / x^21+2 / x d x, use a substituição u=1+2 / x para calcular essa integral e compare o resultado com o do item anterior.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=1x^2+2x
definida em (0,infty) e pede:
a) uma primitiva de f usando frações parciais;
b) reescrever integral f(x),dx como integral1/x^21+2/x,dx, usar a substituição u=1+2/x e comparar o resultado com o item anterior.

Passo 2

Para o método de frações parciais escrevemos
1x(x+2) ;=;Ax+Bx+2
Multiplicando por x(x+2) obtemos
1 = A(x+2)+Bx = (A+B),x + 2A
Comparando coeficientes:
A+B=0 e 2A=1.
Logo
A=12, B=-12

Passo 3

Substituindo na integral:
integral f(x),dx =integrall(tfrac121x-tfrac121x+2r),dx =12integraldxx-12integraldxx+2
Integrando cada termo:
integral f(x),dx =12ln|x|-12ln|x+2|+C =12ln!gl(xx+2gr)+C

Passo 4

Para o item b, note que
1x(x+2) =1x^2;11+2/x,
portanto
integral f(x),dx =integral1/x^21+2/x,dx
Fazendo u=1+tfrac2x temos
du = -2x^2,dx Longrightarrow dxx^2=-12,du
Assim
integral f(x),dx =integral1u,dxx^2 =-12integralduu =-12ln|u|+C

Passo 5

Voltando a x:
-tfrac12ln|u|=-tfrac12ln!l(1+tfrac2xr) =-12l[ln(x+2)-ln xr] =12l[ln x-ln(x+2)r]+C,
que é exatamente
tfrac12ln!l(tfracxx+2r)+C, coincidindo com o resultado das frações parciais.

Resposta

A primitiva de f é
integraldxx^2+2x =12ln!gl(xx+2gr)+C,
e ambos os métodos fornecem o mesmo resultado.

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