Considere a função
definida no intervalo
.
a) Determine uma primitiva para
usando o método das frações parciais.
b) Verifique que a integral de
pode ser escrita na forma
, use a substituição
para calcular essa integral e compare o resultado com o do item anterior.
a) Determine uma primitiva para
b) Verifique que a integral de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
e pede:
a) uma primitiva de usando frações parciais;
b) reescrever como
, usar a substituição
e comparar o resultado com o item anterior.
a) uma primitiva de
b) reescrever
Passo 2
Para o método de frações parciais escrevemos
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
e
.
Logo
Logo
Passo 3
Substituindo na integral:
Integrando cada termo:
Passo 4
Para o item b, note que
portanto
Fazendo
temos
Assim
Passo 5
Voltando a
:
que é exatamente
, coincidindo com o resultado das frações parciais.
Resposta
A primitiva de
é
e ambos os métodos fornecem o mesmo resultado.