Exercício 1.5.1. Calcule as integrais:
Ik=integral arcsen(x)raiz1-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral arcsen(x)raiz1 - x^2,dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a derivada de arcsen(x) é tfrac1raiz1 - x^2, o que sugere uma substituição simples que transforme a integral num caso de integral u,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = arcsen(x),
então
du = 1raiz1 - x^2,dx
Note que isso torna
arcsen(x)raiz1 - x^2,dx = u,du

Passo 3

Agora a integral fica
integral u,du
e sabemos que
integral u,du = u^22 + C
Voltando à variável original, u = arcsen(x), obtemos
I = l(arcsen(x)r)^22 + C

Resposta

I = 12l(arcsen(x)r)^2 + C

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