Isso significa: dado qualquer , devemos encontrar um tal que, sempre que , tenhamos
Passo 2
Começamos manipulando a diferença entre a função e o valor-alvo:
|2x+2| =|2+2xx| =2,|x+1||x|
Queremos fazer essa quantidade ser menor que varepsilon.
Passo 3
Para controlar o denominador |x| quando x está próximo de -1, escolhemos inicialmente
de<a1=12
Então, se |x+1|<de<a1, temos -1-tfrac12<x<-1+tfrac12, ou seja -1,5<x<-0,5, de onde |x|>0,5. Assim, para esses x, vale
2|x|<20,5=4
Logo
|2x+2| =2,|x+1||x| <4,|x+1|
Passo 4
Para garantir que 4,|x+1|<varepsilon, basta exigir
|x+1|<varepsilon4
Agora definimos
de<a = min!ltfrac12,;varepsilon4r
Então, sempre que 0<|x+1|<de<a, temos simultaneamente |x+1|<tfrac12 (logo |x|>0,5) e |x+1|<tfracvarepsilon4.
Passo 5
Concluímos que, para 0<|x+1|<de<a,
|2x+2| <4,|x+1| <4cdotvarepsilon4 =varepsilon
Isso mostra, pela definição de limite, que
limxto -12x=-2
Resposta
Dado varepsilon>0, escolha de<a=min!ltfrac12,varepsilon4r. Então, sempre que 0<|x+1|<de<a, segue que l|tfrac2x+2r|<varepsilon, o que prova o limite desejado.