Prove, por definição, que:
lim x -1 2x=-2

Passo 1

Vamos provar, usando a definição de limite varepsilon - de<a, que
limxto -12x=-2
Isso significa: dado qualquer varepsilon>0, devemos encontrar um de<a>0 tal que, sempre que 0<|x+1|<de<a, tenhamos
|2x-(-2)|<varepsilon

Passo 2

Começamos manipulando a diferença entre a função e o valor-alvo:
|2x+2| =|2+2xx| =2,|x+1||x|
Queremos fazer essa quantidade ser menor que varepsilon.

Passo 3

Para controlar o denominador |x| quando x está próximo de -1, escolhemos inicialmente
de<a1=12
Então, se |x+1|<de<a1, temos -1-tfrac12<x<-1+tfrac12, ou seja -1,5<x<-0,5, de onde |x|>0,5. Assim, para esses x, vale
2|x|<20,5=4
Logo
|2x+2| =2,|x+1||x| <4,|x+1|

Passo 4

Para garantir que 4,|x+1|<varepsilon, basta exigir
|x+1|<varepsilon4
Agora definimos
de<a = min!ltfrac12,;varepsilon4r
Então, sempre que 0<|x+1|<de<a, temos simultaneamente |x+1|<tfrac12 (logo |x|>0,5) e |x+1|<tfracvarepsilon4.

Passo 5

Concluímos que, para 0<|x+1|<de<a,
|2x+2| <4,|x+1| <4cdotvarepsilon4 =varepsilon
Isso mostra, pela definição de limite, que
limxto -12x=-2

Resposta

Dado varepsilon>0, escolha de<a=min!ltfrac12,varepsilon4r. Então, sempre que 0<|x+1|<de<a, segue que l|tfrac2x+2r|<varepsilon, o que prova o limite desejado.

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