Considere a função
(b) Usando este polinômio de Taylor, escreva uma expressão que aproxima
. (Dica:
(b) Usando este polinômio de Taylor, escreva uma expressão que aproxima
Passo 1
O enunciado nos diz que temos a função f(x)=x·ln(1+x) e que, em (a), alguém já obteve o polinômio de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0. Agora, em (b), queremos usar esse polinômio para aproximar ln(1,05), sabendo que 1,05=1+0,05.
Passo 2
Para resolver, lembramos que o desenvolvimento em série de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0 até ordem n é dado por
Aqui desprezamos o resto R_{n+1}(x) para obter a aproximação polinomial.
Passo 3
Basta agora substituir x=0,05 nessa soma polinomial. Assim, obtemos
Resposta
\displaystyle \ln(1.05)\approx\sum_{k=1}{n}(-1){k-1}\frac{0.05^k}{k}