Considere a função f(x)=x ln (1+x)
(b) Usando este polinômio de Taylor, escreva uma expressão que aproxima ln (1,05). (Dica: 1,05= 1+0,05)

Passo 1

O enunciado nos diz que temos a função f(x)=x·ln(1+x) e que, em (a), alguém já obteve o polinômio de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0. Agora, em (b), queremos usar esse polinômio para aproximar ln(1,05), sabendo que 1,05=1+0,05.

Passo 2

Para resolver, lembramos que o desenvolvimento em série de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0 até ordem n é dado por
ln(1+x)=sumk=1^n(-1)^k-1x^kk+Rn+1(x)
Aqui desprezamos o resto R_{n+1}(x) para obter a aproximação polinomial.

Passo 3

Basta agora substituir x=0,05 nessa soma polinomial. Assim, obtemos
ln(1,05)approxsumk=1^n(-1)^k-1(0.05)^kk

Resposta

\displaystyle \ln(1.05)\approx\sum_{k=1}{n}(-1){k-1}\frac{0.05^k}{k}

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