O enunciado diz que temos duas sequências e tais que e . O que queremos provar é que . Vamos usar resultados de álgebra de limites: limite de recíproco e limite de produto.
Passo 2
Como , existe tal que para todo temos . Assim, para ,
portanto não se anula e podemos considerar seus recíprocos. Além disso, para vale
Passo 3
Como xn to x, o lado direito tende a zero, logo lim (1/xn) = 1/x.
Passo 4
Agora, sabendo que lim (xn yn) = y e lim (1/xn) = 1/x, aplicamos o teorema do limite do produto. Observamos que para todo n >= N1
yn = (xn yn) cdot 1xn
Como os fatores xn yn e 1/xn convergem, seu produto converge para o produto dos limites, ou seja,