Se lim xn=x neq 0 e lim xn yn=y, prove que lim yn=yx.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências xn e yn tais que lim xn = x neq 0 e lim (xn yn) = y. O que queremos provar é que lim yn = y/x. Vamos usar resultados de álgebra de limites: limite de recíproco e limite de produto.

Passo 2

Como lim xn = x neq 0, existe N1 tal que para todo n >= N1 temos |xn - x| < |x|/2. Assim, para n >= N1,
|xn| >= |x| - |xn - x| > |x| - |x|2 = |x|2,
portanto xn não se anula e podemos considerar seus recíprocos. Além disso, para n >= N1 vale
gl|1xn - 1xgr| = |xn - x||xn|,|x| <= 2|x|^2,|xn - x|

Passo 3

Como xn to x, o lado direito tende a zero, logo lim (1/xn) = 1/x.

Passo 4

Agora, sabendo que lim (xn yn) = y e lim (1/xn) = 1/x, aplicamos o teorema do limite do produto. Observamos que para todo n >= N1
yn = (xn yn) cdot 1xn
Como os fatores xn yn e 1/xn convergem, seu produto converge para o produto dos limites, ou seja,
lim yn = y cdot 1x = yx

Resposta

yx

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