Determine a função do tempo, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
H3(s)=s^2s^2+2 s+1, Res>-1

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
H3(s)=s^2s^2+2s+1
identificando também a região de convergência. O conteúdo é transformada inversa de Laplace, e vamos usar propriedades de deslocamento e pares conhecidos, além da representação de sinais causais (com u(t)) e impulsos ( de).

Passo 2

Para facilitar, note que o denominador é (s+1)^2. Então reescrevemos o numerador s^2 em função de (s+1):
s^2 = l((s+1)-1r)^2 = (s+1)^2 -2(s+1) +1
Assim,
H3(s)=(s+1)^2 -2(s+1)+1(s+1)^2

Passo 3

Agora separamos em frações simples:
H3(s)=1 ; - ; 2s+1 ; + ; 1(s+1)^2
Cada termo corresponde a um par de Laplace conhecido.

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
  • 1 em s corresponde a de.
  • dfrac2s+1 corresponde a 2e^-tu(t).
  • dfrac1(s+1)^2 corresponde a t,e^-tu(t).
    Portanto
x(t)=de
A região de convergência dada por Res>-1 garante que o sinal é causal (suportado em t>=0).

Resposta

x(t)=\delta(t) - 2e^{-t}u(t) + t e^{-t}u(t),\quad ROC:;\mathrm{Re}{s}>-1

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