Considere a função
f(x)=x^2 ln (1+x2)
Qual o valor de f^(10)(0) ?
A. 18 cdot 2^8.
E. -10 t8 cdot 2^8.
© -18 cdot 2^5.
Nenhuma das outras alternativas ê correta.
E 10!8 cdot 2^8.
F 12^8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a décima derivada da função $ f(x) = x^{2} \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) $ avaliada em $ x = 0 $, ou seja, $ f^{(10)}(0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e séries de Taylor. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a função está estruturada. Temos um produto de $ x^2 $ com o logaritmo natural $ \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) $. Para facilitar o cálculo das derivadas, vamos expandir o logaritmo em uma série de Taylor.

Passo 3

Sabemos que a série de Taylor para $ \ln(1 + t) $ ao redor de $ t = 0 $ é:
ln(1 + t)
Aqui, $ t = \frac{x}{2} $. Portanto, substituindo:
t = 0

Passo 4

Agora, multiplicamos essa série por $ x^2 $ para obter a série de $ f(x) $:
x^2
Multiplicando cada termo por $ x^2 $:
f(x)

Passo 5

A décima derivada de $ f(x) $ avaliada em 0, $ f^{(10)}(0) $, está relacionada com o coeficiente do termo $ x^{10} $ na série de Taylor de $ f(x) $. Especificamente:
f(x) é

Passo 6

Observando a série de $ f(x) $, percebemos que o coeficiente de $ x^n $ é:
f(x)
Para o termo $ x^{10} $, temos $ n = 10 $:
x^n

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula para $ f^{(10)}(0) $:
f^(10)(0)
No entanto, notamos que há um sinal negativo na série original, o que implica que o coeficiente correto é:
f^(10)(0) = 10! times 110! cdot 2^8 = 12^8 = 1256

Resposta

Nenhuma das outras alternativas é correta.

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