Considere a função
Qual o valor de
?
A.
.
E.
.
©
.
Nenhuma das outras alternativas ê correta.
E
.
F
.
A.
E.
©
Nenhuma das outras alternativas ê correta.
E
F
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a décima derivada da função $ f(x) = x^{2} \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) $ avaliada em $ x = 0 $, ou seja, $ f^{(10)}(0) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e séries de Taylor. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a função está estruturada. Temos um produto de $ x^2 $ com o logaritmo natural $ \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) $. Para facilitar o cálculo das derivadas, vamos expandir o logaritmo em uma série de Taylor.
Passo 3
Sabemos que a série de Taylor para $ \ln(1 + t) $ ao redor de $ t = 0 $ é:
Aqui, $ t = \frac{x}{2} $. Portanto, substituindo:
Passo 4
Agora, multiplicamos essa série por $ x^2 $ para obter a série de $ f(x) $:
Multiplicando cada termo por $ x^2 $:
Passo 5
A décima derivada de $ f(x) $ avaliada em 0, $ f^{(10)}(0) $, está relacionada com o coeficiente do termo $ x^{10} $ na série de Taylor de $ f(x) $. Especificamente:
Passo 6
Observando a série de $ f(x) $, percebemos que o coeficiente de $ x^n $ é:
Para o termo $ x^{10} $, temos $ n = 10 $:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula para $ f^{(10)}(0) $:
No entanto, notamos que há um sinal negativo na série original, o que implica que o coeficiente correto é:
Resposta
Nenhuma das outras alternativas é correta.