Exercício 2-Calcule as integrais abaixo:
integral duplaD 2 d A, D=(x, y) ;-1 <= x <= 1, x^2 <= y <= x^2+3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD 2,dA, onde o domínio D é dado por -1 <= x <= 1 e x^2 <= y <= x^2 + 3. O conteúdo principal é integral dupla em coordenadas cartesianas, e vamos usar transformação para integral iterada.

Passo 2

Para descrever o domínio D como uma região de integração do tipo I, vemos que x varia de -1 a 1 e, para cada x, y varia de y = x^2 até y = x^2 + 3. Montamos então a integral iterada conforme a definição de integral dupla:
integral duplaD 2,dA = integralx=-1^1!(integraly=x^2^x^2+3 2,dy)dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em relação a y. Como 2 é constante em y, temos:
integraly=x^2^x^2+3 2,dy = 2,y |y=x^2^y=x^2+3 = 2l((x^2+3) - x^2r) = 2cdot 3 = 6

Passo 4

Agora a integral externa em x fica simples, pois o resultado da interna é a constante 6:
integralx=-1^1 6,dx = 6 l(xr) |-1^1 = 6(1 - (-1)) = 6 cdot 2 = 12

Resposta

12

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