Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+14 u=0, u(0)=0, u^prime(0)=-1
Em relação a este problema responda:
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.

Passo 1

O enunciado pede para converter o PVI de segunda ordem u'' + tfrac14 u = 0, com condições iniciais u(0)=0 e u'(0)=-1, num sistema de EDOs de primeira ordem; depois encontrar autovalores e autovetores da matriz associada; descrever a solução geral; e enfim achar a solução particular que satisfaz as condições.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado x1 = u e x2 = u'. Então temos
x1' = x2,
x2' = -tfrac14 x1
Em forma matricial, x = (x1, x2)^T satisfaz
x' = A x, A = 0 & 1 -tfrac14 & 0

Passo 3

Para achar os autovalores resolvemos det(A - lambda I)=0, isto é
det-lambda & 1 -tfrac14 & -lambda = lambda^2 + tfrac14 = 0
Logo
lambda = pm tfraci2
Para lambda = i/2, da primeira linha temos -tfraci2v1 + v2 = 0 então escolhemos o autovetor
$$v^{(1)} = v^(1) = 1 tfraci2 .
lambda = -i/2v^{(2)} = v^(2) = 1 -tfraci2 .
$$

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das exponenciais complexas:
x(t) = C,e^i t/2v^(1) + D,e^-i t/2v^(2),
que em termos reais dá para escrever
$$u(t) = A\cos\bigl(\tfrac t2\bigr) + B\sin\bigl(\tfrac t2\bigr).
$$

Passo 5

Para impor u(0)=0 e u'(0)=-1 notamos que u(0)=A=0. Também
u'(t) = -Atfrac12sinl(tfrac t2r) + Btfrac12cosl(tfrac t2r),
e em t=0 u'(0)=B/2=-1, logo B=-2. Assim a solução que atende o PVI é
u(t) = -2sinl(tfrac t2r)

Resposta

u(t) = -2 \sin\bigl(\tfrac t2\bigr)

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