Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) encontre uma solução que satisfaça as condições iniciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para converter o PVI de segunda ordem
, com condições iniciais
e
, num sistema de EDOs de primeira ordem; depois encontrar autovalores e autovetores da matriz associada; descrever a solução geral; e enfim achar a solução particular que satisfaz as condições.
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
e
. Então temos
Em forma matricial,
Passo 3
Para achar os autovalores resolvemos
, isto é
Logo
Para
, da primeira linha temos
então escolhemos o autovetor
$$v^{(1)} =
.
$$
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das exponenciais complexas:
que em termos reais dá para escrever
$$u(t) = A\cos\bigl(\tfrac t2\bigr) + B\sin\bigl(\tfrac t2\bigr).
$$
Passo 5
Para impor
e
notamos que
. Também
e em
Resposta
u(t) = -2 \sin\bigl(\tfrac t2\bigr)