Considere a função
Calcule
, com
. Interprete o resultado;
Calcule
Passo 1
A questão pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=x²y³−x³y²+2xy no ponto (1,1) na direção do vetor u=⟨2,−3⟩. O conteúdo é derivadas parciais e derivada direcional: vamos precisar do gradiente de f e do vetor unitário em direção a u.
Passo 2
Para obter o gradiente de f, calculamos as derivadas parciais. Temos
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em (1,1). Substituindo x=1 e y=1:
Logo,
.
Passo 4
Para usar a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção de u=⟨2,−3⟩. Primeiro calculamos o módulo:
O vetor unitário é
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e
:
Passo 6
Como o valor deu negativo, isso significa que, ao nos movermos a partir de (1,1) na direção de u, a função f decresce com taxa
.
Resposta
-\tfrac{7}{\sqrt{13}}