Considere a função f(x, y)=x^2 y^3-x^3 y^2+2 x y
Calcule Du f(1,1), com u=lang<= 2,-3rang<=. Interprete o resultado;

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=x²y³−x³y²+2xy no ponto (1,1) na direção do vetor u=⟨2,−3⟩. O conteúdo é derivadas parciais e derivada direcional: vamos precisar do gradiente de f e do vetor unitário em direção a u.

Passo 2

Para obter o gradiente de f, calculamos as derivadas parciais. Temos
partial fpartial x=2x y^3-3x^2y^2+2y,
partial fpartial y=3x^2y^2-2x^3y+2x

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (1,1). Substituindo x=1 e y=1:
partial fpartial x(1,1)=2cdot1cdot1^3-3cdot1^2cdot1^2+2cdot1=2-3+2=1,
partial fpartial y(1,1)=3cdot1^2cdot1^2-2cdot1^3cdot1+2cdot1=3-2+2=3
Logo, nabla f(1,1)=lang<=1,3rang<=.

Passo 4

Para usar a derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção de u=⟨2,−3⟩. Primeiro calculamos o módulo:
|vec u|=raiz2^2+(-3)^2=raiz4+9=raiz13
O vetor unitário é
hat u=llang<=2raiz13,-3raiz13rrang<=

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e hat u:
Dvec uf(1,1)=nabla f(1,1)cdothat u=lang<=1,3rang<=cdotllang<=2raiz13,-3raiz13rrang<==1cdot2+3cdot(-3)raiz13=2-9raiz13=-7raiz13

Passo 6

Como o valor deu negativo, isso significa que, ao nos movermos a partir de (1,1) na direção de u, a função f decresce com taxa 7/raiz13.

Resposta

-\tfrac{7}{\sqrt{13}}

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