Considere a função f(x, y)=x^2 y^3-x^3 y^2+2 x y
Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1,2).

Passo 1

A questão pede a equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x²y³−x³y²+2xy no ponto (1,1,2). O conteúdo necessário é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente: z=f(a,b)+fₓ(a,b)(x−a)+f_y(a,b)(y−b).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Derivando em relação a x:
fx(x,y)=partialpartial x(x^2y^3 - x^3y^2 + 2xy)=2xy^3 - 3x^2y^2 + 2y
Derivando em relação a y:
fy(x,y)=partialpartial y(x^2y^3 - x^3y^2 + 2xy)=3x^2y^2 - 2x^3y + 2x

Passo 3

Avaliar f, fₓ e f_y em (1,1): f(1,1)=12·13 −13·12 +2·1·1=1−1+2=2;
fₓ(1,1)=2·1·13−3·12·1^2+2·1=2−3+2=1;
f_y(1,1)=3·12·12−2·1^3·1+2·1=3−2+2=3.

Passo 4

Aplicar a fórmula do plano tangente: z=f(1,1)+fₓ(1,1)(x−1)+f_y(1,1)(y−1) e simplificar:
z=2+1,(x-1)+3,(y-1)=2+x-1+3y-3= x+3y-2

Resposta

z = x + 3y - 2

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