Considere a função
Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
A questão pede a equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x²y³−x³y²+2xy no ponto (1,1,2). O conteúdo necessário é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente: z=f(a,b)+fₓ(a,b)(x−a)+f_y(a,b)(y−b).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de f. Derivando em relação a x:
Derivando em relação a y:
Passo 3
Avaliar f, fₓ e f_y em (1,1): f(1,1)=12·13 −13·12 +2·1·1=1−1+2=2;
fₓ(1,1)=2·1·13−3·12·1^2+2·1=2−3+2=1;
f_y(1,1)=3·12·12−2·1^3·1+2·1=3−2+2=3.
fₓ(1,1)=2·1·13−3·12·1^2+2·1=2−3+2=1;
f_y(1,1)=3·12·12−2·1^3·1+2·1=3−2+2=3.
Passo 4
Aplicar a fórmula do plano tangente: z=f(1,1)+fₓ(1,1)(x−1)+f_y(1,1)(y−1) e simplificar:
Resposta
z = x + 3y - 2