Determine
e
e os seus domínios, se
e
.
Passo 1
O exercício pede para calcular as composições f ∘ g e g ∘ f das funções f(x)=
e g(x)=
, além de determinar seus domínios. Vamos usar definição de composição de funções e também prestar atenção nas restrições de domínio impostas por denominadores.
Passo 2
Primeiro, anotamos os domínios individuais: f(x)=
exige 1−x≠0, ou seja x≠1. Logo Dom(f)=ℝ{1}. E g(x)=
exige x≠0. Logo Dom(g)=ℝ{0}.
Passo 3
Para achar f ∘ g, substituímos g(x) em f:
Agora simplificamos o denominador em bloco:
então
O domínio de f ∘ g é o conjunto de x tais que g(x) está definido (x≠0) e f em g(x) está definido. Precisamos de g(x)≠1, mas
não tem solução real. Logo Dom(f\circ g)=ℝ{0}.
Passo 4
Para achar g ∘ f, substituímos f(x) em g:
Simplificamos o numerador em bloco:
então
O domínio de g ∘ f exige x≠1 (para f) e f(x)≠0 (para g), ou seja x≠1 e
⇒ x≠0. Logo Dom(g\circ f)=ℝ{0,1}.
Resposta
(f\circ g)(x)=x-1, Dom(f\circ g)=ℝ{0}; (g\circ f)(x)=\frac{2x-1}{x}, Dom(g\circ f)=ℝ{0,1}.