Determine f o g e g o f e os seus domínios, se f(x)=fracx1-x e g(x)=fracx-1x.

Passo 1

O exercício pede para calcular as composições f ∘ g e g ∘ f das funções f(x)= x1-x e g(x)= x-1x, além de determinar seus domínios. Vamos usar definição de composição de funções e também prestar atenção nas restrições de domínio impostas por denominadores.

Passo 2

Primeiro, anotamos os domínios individuais: f(x)= x1-x exige 1−x≠0, ou seja x≠1. Logo Dom(f)=ℝ{1}. E g(x)= x-1x exige x≠0. Logo Dom(g)=ℝ{0}.

Passo 3

Para achar f ∘ g, substituímos g(x) em f:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=fl(x-1xr)=x-1x1-x-1x
Agora simplificamos o denominador em bloco:
1-x-1x=x-(x-1)x=1x,
então
(fcirc g)(x)=x-1x1x=x-1xcdotx1=x-1
O domínio de f ∘ g é o conjunto de x tais que g(x) está definido (x≠0) e f em g(x) está definido. Precisamos de g(x)≠1, mas x-1x=1 não tem solução real. Logo Dom(f\circ g)=ℝ{0}.

Passo 4

Para achar g ∘ f, substituímos f(x) em g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=gl(x1-xr)=x1-x-1x1-x
Simplificamos o numerador em bloco:
x1-x-1=x-(1-x)1-x=2x-11-x,
então
(gcirc f)(x)=2x-11-xx1-x=2x-11-xcdot1-xx=2x-1x
O domínio de g ∘ f exige x≠1 (para f) e f(x)≠0 (para g), ou seja x≠1 e x1-x≠0 ⇒ x≠0. Logo Dom(g\circ f)=ℝ{0,1}.

Resposta

(f\circ g)(x)=x-1, Dom(f\circ g)=ℝ{0}; (g\circ f)(x)=\frac{2x-1}{x}, Dom(g\circ f)=ℝ{0,1}.

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