Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(t)=t^2-1 e y(t)=t^3+1.
(a) Calcule as derivadas parciais de f.

Passo 1

A questão pede as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, então vamos lembrar que ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante. Vamos usar as regras de soma e potência para derivar cada termo de f(x,y)=x^2+2xy-3y^2.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, derivamos termo a termo em relação a x mantendo y fixo. Derivada de x^2 é 2x, de 2xy é 2y (pois y é constante), e de -3y^2 é zero. Assim obtenho
partial fpartial x=2x+2y

Passo 3

Agora para partial fpartial y, derivamos em relação a y mantendo x fixo. Derivada de x^2 é zero, de 2xy é 2x, e de -3y^2 é -6y. Logo
partial fpartial y=2x-6y

Resposta

As derivadas parciais são partial fpartial x=2x+2y e partial fpartial y=2x-6y.

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