Use o teste do termo de ordem n para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
sumn=1^infty 1raiz[n]e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty 1raiz[n]e
O objetivo é usar o Teste do Termo de Ordem para ver se essa série diverge ou se precisa investigar mais. Para isso, vamos precisar entender como esse teste funciona e calcular o limite do termo geral quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a análise. A expressão raiz[n]e = e^1/n pode ser escrita como uma potência:
1raiz[n]e = e^-1/n
Então, o termo geral fica:

Passo 3

Agora, precisamos aplicar o Teste do Termo de Ordem limn to infty an neq 0 . Esse teste diz que se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, ou seja:
Então, a série diverge. Esse teste é uma ferramenta rápida para decidir sobre a convergência ou divergência de uma série.

Passo 4

Vamos calcular o limite do termo geral limn to infty e^-1/n = e^-limn to infty 1/n = e^0 = 1 quando tende ao infinito:
Isso porque , e .

Passo 5

Como o limite do termo geral é:
limn to infty an = 1 neq 0
De acordo com o Teste do Termo de Ordem , isso significa que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste do Termo de Ordem .

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