Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
sumn=1^infty[(32)^n+(23)^n]

Passo 1

A questão pede para analisarmos a série sumn=1^inftyl[(3/2)^n + (2/3)^nr], que envolve somatório de duas séries geométricas. Vamos usar o Teorema (11.20) sobre convergência de série geométrica e o Teorema (11.21) sobre divergência pelo fator de crescimento.

Passo 2

Separamos o somatório em duas séries:
sumn=1^inftyl[(3/2)^n + (2/3)^nr] = sumn=1^inftyl(3/2r)^n + sumn=1^inftyl(2/3r)^n

Passo 3

Analisando a primeira parte sumn=1^infty(3/2)^n: pelo Teorema (11.20), a série geométrica sum r^n converge apenas se |r|<1. Aqui r=3/2 tem |r|>1, logo essa série diverge para +infty.

Passo 4

Analisando a segunda parte sumn=1^infty(2/3)^n: agora r=2/3 satisfaz |r|<1, então converge e sua soma é dada por
S = r1-r = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2

Passo 5

Como uma das parcelas diverge, a soma total não pode convergir — uma das condições para usar linearidade falha quando há divergência. Portanto, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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