Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
Passo 1
A questão pede para analisarmos a série
, que envolve somatório de duas séries geométricas. Vamos usar o Teorema (11.20) sobre convergência de série geométrica e o Teorema (11.21) sobre divergência pelo fator de crescimento.
Passo 2
Separamos o somatório em duas séries:
Passo 3
Analisando a primeira parte
: pelo Teorema (11.20), a série geométrica
converge apenas se
. Aqui
tem
, logo essa série diverge para
.
Passo 4
Analisando a segunda parte
: agora
satisfaz
, então converge e sua soma é dada por
Passo 5
Como uma das parcelas diverge, a soma total não pode convergir — uma das condições para usar linearidade falha quando há divergência. Portanto, a série original diverge.
Resposta
A série diverge.