Use o Exemplo 1 ou 3 e o Teorema (11.19) ou (11.20) para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a série
. O conteúdo envolve séries telescópicas, onde usamos decomposição em frações parciais para cancelar termos. Vamos aplicar esse método (Exemplo 1 ou 3) e o critério de convergência de séries telescópicas (Teorema 11.19/11.20).
Passo 2
Decompondo o termo geral em frações parciais:
. Essa reescrita é chave para que ocorra o cancelamento telescópico.
Passo 3
Calculando a soma parcial
e observando o cancelamento, obtemos:
Passo 4
Tomando o limite quando
:
. Como a sequência das somas parciais tende a um valor finito, concluímos que a série converge (Teorema sobre séries telescópicas).
Resposta
A série converge e sua soma é -1.