Use o Exemplo 1 ou 3 e o Teorema (11.19) ou (11.20) para determinar se a série converge ou diverge.
-11 cdot 2+-12 cdot 3+ldots+-1n(n+1)+ldots

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a série sumn=1^infty -1n(n+1). O conteúdo envolve séries telescópicas, onde usamos decomposição em frações parciais para cancelar termos. Vamos aplicar esse método (Exemplo 1 ou 3) e o critério de convergência de séries telescópicas (Teorema 11.19/11.20).

Passo 2

Decompondo o termo geral em frações parciais: -1n(n+1) = -1n + 1n+1. Essa reescrita é chave para que ocorra o cancelamento telescópico.

Passo 3

Calculando a soma parcial SN = sumn=1^N l(-1n + 1n+1r) e observando o cancelamento, obtemos:
SN = -1 + 12 - 12 + 13 - dots - 1N + 1N+1 = -1 + 1N+1

Passo 4

Tomando o limite quando Ntoinfty: limNtoinftySN = -1 + 0 = -1. Como a sequência das somas parciais tende a um valor finito, concluímos que a série converge (Teorema sobre séries telescópicas).

Resposta

A série converge e sua soma é -1.

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