Calcule a integral tripla.
, onde
está abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
, e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde o sólido
é o conjunto de pontos que estão abaixo do plano
e cuja projeção no plano
é a região limitada por
,
e
. O conteúdo é integração múltipla em coordenadas retangulares e vamos precisar usar o teorema de Fubini para escrever a integral iterada.
Passo 2
Primeiro definimos a projeção
de
no plano
. Como
e
se cruzam em
e ambas atingem
em
, temos
Logo a integral vira
Passo 3
Agora integramos em
, tratando
e
como constantes. Como
segue
Passo 4
Em seguida integramos em
:
Expandindo
e integrando termo a termo obtemos
Passo 5
Por fim, substituímos no integral em
. A integral tripla se reduz a uma integral simples: