Calcule a integral tripla.
integral triplaE y z cos (x^5) d V, onde E está abaixo do plano z=1+x+y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y=raizx, y=0, e x=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaE y,z,cos(x^5),dV, onde o sólido E é o conjunto de pontos que estão abaixo do plano z=1+x+y e cuja projeção no plano xy é a região limitada por y=0, y=raizx e x=1. O conteúdo é integração múltipla em coordenadas retangulares e vamos precisar usar o teorema de Fubini para escrever a integral iterada.

Passo 2

Primeiro definimos a projeção D de E no plano xy. Como y=0 e y=raizx se cruzam em x=0 e ambas atingem y=1 em x=1, temos
0<= x<=1, 0<= y<=raizx, 0<= z<=1+x+y
Logo a integral vira
integral triplaE y,z,cos(x^5),dV =integralx=0^1integraly=0^raizxintegralz=0^1+x+yy,z,cos(x^5),dz,dy,dx

Passo 3

Agora integramos em z, tratando y e x como constantes. Como
integral0^1+x+yz,dz=(1+x+y)^22,
segue
integralz=0^1+x+yy,z,cos(x^5),dz =y,cos(x^5)cdot(1+x+y)^22

Passo 4

Em seguida integramos em y:
integraly=0^raizxy(1+x+y)^22,dy =12integral0^raizxl(y(1+x+y)^2r)dy
Expandindo (1+x+y)^2=(1+x)^2+2(1+x)y+y^2 e integrando termo a termo obtemos
12gl[x(1+x)^22+2x^3/2(1+x)3+x^24gr] =x(1+x)^24+x^3/2(1+x)3+x^28

Passo 5

Por fim, substituímos no integral em x. A integral tripla se reduz a uma integral simples:
integral triplaEy,z,cos(x^5),dV =integral0^1cos(x^5)l(x(1+x)^24+x^3/2(1+x)3+x^28r)dx

Resposta

integral0^1cos(x^5)l(tfracx(1+x)^24+tfracx^3/2(1+x)3+tfracx^28r)dx

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