Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(t)=t^2-1 e y(t)=t^3+1.
© Determine f(t).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+2xy-3y^2 e a parametrização x(t)=t^2-1, y(t)=t^3+1. O conteúdo aqui é substituição em função de duas variáveis: vamos usar as expressões de x(t) e y(t) dentro de f(x,y) e depois simplificar o polinômio resultante.

Passo 2

Substituímos x(t) e y(t) em f(x,y). Assim,
f(t)=(t^2-1)^2+2,(t^2-1)(t^3+1)-3,(t^3+1)^2

Passo 3

Agora expandimos cada termo separadamente:
(t^2-1)^2=t^4-2t^2+1,
2,(t^2-1)(t^3+1)=2t^5+2t^2-2t^3-2,
-3,(t^3+1)^2=-3t^6-6t^3-3

Passo 4

Por fim, somamos todos os polinômios e agrupamos termos semelhantes:
f(t)=t^4-2t^2+1+2t^5+2t^2-2t^3-2-3t^6-6t^3-3

Passo 5

Isso reduz a
f(t)=-3t^6+2t^5+t^4-8t^3-4

Resposta

f(t)=-3t^6+2t^5+t^4-8t^3-4

Exercícios relacionados