Considere a função , onde k in R.
Determine o valor de k para que lim x 2 f(x) exista e esboce o gráfico de f para o valor encontrado.
Passo 1
A questão pede para encontrar o valor de k que torne o limite limxto2f(x) existente e depois esboçar o gráfico de f para esse k. O conteúdo é limites laterais e continuidade em ponto, e vamos precisar calcular os limites pela esquerda (usando f(x)=-x^2+3 para 0) e pela direita (usando f(x)=x-k para x>2).
Passo 2
Para o limite pela esquerda em x=2, usamos a expressão f(x)=-x^2+3. Logo,
limxto2^-f(x)=-(2)^2+3=-4+3=-1
Passo 3
Para o limite pela direita em x=2, usamos a expressão f(x)=x-k. Assim,
limxto2^+f(x)=2-k
Passo 4
Para que o limite exista, precisamos de igualdade entre os dois limites laterais. Então igualamos:
2-k=-1Longrightarrow k=3
Passo 5
Agora, com k=3, o gráfico de f fica assim:
Para x<0: reta y=-x+1.
Em x=0: ponto isolado (0,2).
Para 0: parte de parábola y=-x^2+3, chegando em (2,-1).
Para x>2: reta y=x-3, que passa por (2,-1) e segue com inclinação positiva.
O gráfico resultante é contínuo em x=2 e apresenta um salto em x=0 (devido ao ponto isolado).