Considere a função f(x)=ll-x+1, & x<0 2, & x=0 -x^2+3, & 02, onde k in R.
Determine o valor de k para que lim x 2 f(x) exista e esboce o gráfico de f para o valor encontrado.

Passo 1

A questão pede para encontrar o valor de k que torne o limite limxto2f(x) existente e depois esboçar o gráfico de f para esse k. O conteúdo é limites laterais e continuidade em ponto, e vamos precisar calcular os limites pela esquerda (usando f(x)=-x^2+3 para 0) e pela direita (usando f(x)=x-k para x>2).

Passo 2

Para o limite pela esquerda em x=2, usamos a expressão f(x)=-x^2+3. Logo,
limxto2^-f(x)=-(2)^2+3=-4+3=-1

Passo 3

Para o limite pela direita em x=2, usamos a expressão f(x)=x-k. Assim,
limxto2^+f(x)=2-k

Passo 4

Para que o limite exista, precisamos de igualdade entre os dois limites laterais. Então igualamos:
2-k=-1Longrightarrow k=3

Passo 5

Agora, com k=3, o gráfico de f fica assim:
  • Para x<0: reta y=-x+1.
  • Em x=0: ponto isolado (0,2).
  • Para 0: parte de parábola y=-x^2+3, chegando em (2,-1).
  • Para x>2: reta y=x-3, que passa por (2,-1) e segue com inclinação positiva.
    O gráfico resultante é contínuo em x=2 e apresenta um salto em x=0 (devido ao ponto isolado).

Resposta

k = 3

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