Considere a função
. Calcule:
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis no ponto (0,0). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e vamos precisar lembrar que, para achar derivadas de ordem superior, primeiro calculamos as primeiras derivadas e depois derivamos novamente.
Passo 2
Vamos achar as primeiras derivadas parciais. Derivando em relação a x temos a soma de derivadas termo a termo: 3x²→6x, −5y²→0, 3xy→3y, −2x→−2, 9y e −sen(y) não dependem de x →0, e cos(x)→−sen(x). Então
Passo 3
Para f_y derivamos em relação a y: 3x²→0, −5y²→−10y, 3xy→3x, −2x→0, 9y→9, −\sin(y)→−\cos(y), cos(x)→0. Assim
Passo 4
Agora derivamos de novo para obter f_{xx}, f_{yy}, f_{xy} e f_{yx}. Começando por f_{xx}, derivamos f_x em relação a x: 6x→6, 3y→0, −2→0, −\sin(x)→−\cos(x). Logo
Passo 5
No ponto (0,0) isso vale
Passo 6
Para f_{yy}, derivamos f_y em relação a y: −10y→−10, 3x→0, 9→0, −\cos(y)→+\sin(y). Então
Passo 7
E no ponto (0,0)
Passo 8
Para a derivada mista f_{xy} derivamos f_x em relação a y: 6x→0, 3y→3, os outros termos independentes de y viram 0. Logo f_{xy}(x,y)=3, então f_{xy}(0,0)=3.
Passo 9
Para f_{yx} derivamos f_y em relação a x: −10y→0, 3x→3, resto independe de x→0. Logo f_{yx}(x,y)=3 e f_{yx}(0,0)=3. Esses resultados coincidem como garante o teorema de Schwarz.
Passo 10
Pronto! Encontramos todas as derivadas de segunda ordem no ponto (0,0).