Considere a função f(x, y)=3 x^2-5 y^2+3 x y-2 x+9 y-1+cos (x)-sen(y). Calcule:
partial^2 fpartial x^2(0,0), partial^2 fpartial y^2(0,0), partial^2 fpartial x partial y(0,0) e partial^2 fpartial y partial x(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis no ponto (0,0). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e vamos precisar lembrar que, para achar derivadas de ordem superior, primeiro calculamos as primeiras derivadas e depois derivamos novamente.

Passo 2

Vamos achar as primeiras derivadas parciais. Derivando em relação a x temos a soma de derivadas termo a termo: 3x²→6x, −5y²→0, 3xy→3y, −2x→−2, 9y e −sen(y) não dependem de x →0, e cos(x)→−sen(x). Então
fx(x,y)=6x+3y-2-sin(x)

Passo 3

Para f_y derivamos em relação a y: 3x²→0, −5y²→−10y, 3xy→3x, −2x→0, 9y→9, −\sin(y)→−\cos(y), cos(x)→0. Assim
fy(x,y)=-10y+3x+9-cos(y)

Passo 4

Agora derivamos de novo para obter f_{xx}, f_{yy}, f_{xy} e f_{yx}. Começando por f_{xx}, derivamos f_x em relação a x: 6x→6, 3y→0, −2→0, −\sin(x)→−\cos(x). Logo
fxx(x,y)=6-cos(x)

Passo 5

No ponto (0,0) isso vale
fxx(0,0)=6-cos(0)=6-1=5

Passo 6

Para f_{yy}, derivamos f_y em relação a y: −10y→−10, 3x→0, 9→0, −\cos(y)→+\sin(y). Então
fyy(x,y)=-10+sin(y)

Passo 7

E no ponto (0,0)
fyy(0,0)=-10+sin(0)=-10+0=-10

Passo 8

Para a derivada mista f_{xy} derivamos f_x em relação a y: 6x→0, 3y→3, os outros termos independentes de y viram 0. Logo f_{xy}(x,y)=3, então f_{xy}(0,0)=3.

Passo 9

Para f_{yx} derivamos f_y em relação a x: −10y→0, 3x→3, resto independe de x→0. Logo f_{yx}(x,y)=3 e f_{yx}(0,0)=3. Esses resultados coincidem como garante o teorema de Schwarz.

Passo 10

Pronto! Encontramos todas as derivadas de segunda ordem no ponto (0,0).

Resposta

fxx(0,0)=5, fyy(0,0)=-10, fxy(0,0)=3, fyx(0,0)=3.

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