Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, y)=x e^(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=x e{(x2+y^2)}. O conteúdo aqui é derivada parcial e vamos precisar usar a definição de derivada parcial, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial f/partial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto. Se f(x,y)=xcdot e^x^2+y^2, então
partial fpartial x=1cdot e^x^2+y^2+xcdot e^x^2+y^2cdot ddx(x^2+y^2)
Notando que ddx(x^2+y^2)=2x, obtemos
partial fpartial x=e^x^2+y^2+xcdot e^x^2+y^2cdot 2x=e^x^2+y^2(1+2x^2)

Passo 3

Para calcular partial f/partial y, tratamos x como constante e usamos a regra da cadeia sobre e^x^2+y^2. Temos
partial fpartial y=xcdot e^x^2+y^2cdot ddy(x^2+y^2)
Como ddy(x^2+y^2)=2y, segue
partial fpartial y=xcdot e^x^2+y^2cdot 2y=2xy,e^x^2+y^2

Resposta

partial fpartial x(x,y)=e^x^2+y^2(1+2x^2) e partial fpartial y(x,y)=2xy,e^x^2+y^2.

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