Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=x^3 y^4x^3 y^4+(y-x^4)^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe, onde
f(x,y)=x^3y^4x^3y^4+(y-x^4)^3
Vamos usar o conteúdo de limites em várias variáveis e o critério de que se dois caminhos distintos levam a valores finais diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Uma estratégia comum é escolher caminhos simples que façam o denominador não anular de forma estranha. Primeiro, tome o caminho
y=0

Passo 3

Substituindo y=0 em f(x,y) temos
f(x,0)=x^3cdot0^4x^3cdot0^4+(0-x^4)^3 =0-(x^4)^3=0
Logo, ao longo de y=0, f(x,y)to0 quando (x,y)to(0,0).

Passo 4

Agora escolha o caminho
y=x^4

Passo 5

Substituindo y=x^4 em f(x,y) obtemos
fl(x,x^4r)=x^3(x^4)^4x^3(x^4)^4+(x^4-x^4)^3 =x^3x^16x^19+0 =1
Logo, ao longo de y=x^4, f(x,y)to1 quando (x,y)to(0,0).

Passo 6

Como obtivemos dois valores diferentes (0 e 1) em dois caminhos de aproximação distintos, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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