Considere a função f(x)=-x^3-3 x^2+3. (As raízes desse polinômio são aproximadamente -2,53; - 1,35 e 0,88). Determine:
(0 , 4 p t s) Os intervalos onde a concavidade da função é voltada para cima e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar onde a concavidade de f(x) = -x³ – 3x² + 3 é voltada para cima (f’’>0) ou para baixo (f’’<0). O conteúdo aqui é o teste de concavidade via segunda derivada, e vamos precisar calcular f’(x) e f’’(x).

Passo 2

Para usar o teste de concavidade, primeiro derivamos f(x). A derivada primeira é
f'(x) = ddx(-x^3 - 3x^2 + 3) = -3x^2 - 6x,
depois derivamos f’(x) para obter a segunda derivada:
f''(x) = ddx(-3x^2 - 6x) = -6x - 6 = -6(x + 1)

Passo 3

A teoria diz que quando f’’(x)>0, a curva é côncava para cima, e quando f’’(x)<0, é côncava para baixo. Então resolvemos:
f''(x)>0 iff -6(x+1)>0 iff x + 1 < 0 iff x < -1,
f''(x)<0 iff -6(x+1)<0 iff x + 1 > 0 iff x > -1

Resposta

Concavidade voltada para cima em (-∞, -1) e concavidade voltada para baixo em (-1, +∞).

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