Considere a função
f(x)=cc x y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
a) (1, 0 pts) partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0;
b) (1,0 pts) Se a e b são constantes reais não nulas e g(t)=(a t, b t), então
(f circ g)^prime(0)=a b^2a^2+b^2 neq 0
mas nabla f(0,0) cdot g^prime(0)=0;
c) ( 1 , 0 p t s ) A função f é diferenciável no ponto ( 0,0 )? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede:
– (a) calcular partial f/partial x(0,0) e partial f/partial y(0,0);
– (b) para g(t)=(a t,b t) com a,bneq0, mostrar que (fcirc g)'(0)=tfraca b^2a^2+b^2neq0 mas nabla f(0,0)cdot g'(0)=0;
– (c) concluir se f é diferenciável em (0,0).
Conteúdos: derivada parcial, derivada direcional, gradiente e diferenciabilidade.]

Passo 2

Pela definição de derivada parcial em (0,0):
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0,
pois f(h,0)=0. Analogamente
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h =0

Passo 3

Para g(t)=(a t,b t) temos
(fcirc g)(t)-f(0,0)t =a t,(b t)^2(a t)^2+(b t)^2-0t =a b^2t^3(a^2+b^2)t^2cdot1t =a b^2a^2+b^2,
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(fcirc g)'(0) =a b^2a^2+b^2neq0
Como nabla f(0,0)=(0,0) e g'(0)=(a,b), segue
nabla f(0,0)cdot g'(0)=0

Passo 4

Para ser diferenciável em , com . Se assim fosse,
Mas
então
que não tende a zero. Logo não é diferenciável em .

Resposta

a) partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0.
b) (fcirc g)'(0)=a b^2a^2+b^2neq0 e nabla f(0,0)cdot g'(0)=0.
c) f não é diferenciável em (0,0).

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