Considere a superfície S de equação z=5 x y-3 x^2.
a) (1,0 pts) Determine o ponto P0 in S tal que o plano tangente a S em P0 seja ortogonal ao vetor V=(6,-5,1);
b) (0,5 pts) Escreva a equação do plano tangente referido no item a).

Passo 1

O enunciado pede o ponto P0 em que o plano tangente à superfície
S:;z = 5xy - 3x^2
seja ortogonal ao vetor V=(6,-5,1), e depois a equação desse plano. Para uma superfície dada por
F(x,y,z)=5xy-3x^2-z=0,
o vetor normal ao plano tangente em cada ponto é nabla F(x,y,z). Como queremos que esse normal seja paralelo a V, basta impor nabla F=lambda V.

Passo 2

Calculemos
nabla F(x,y,z) =l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr) =(5y-6x,;5x,;-1)
Impondo
(5y-6x,;5x,;-1)=lambda,(6,-5,1)
obtemos o sistema
5y-6x = 6lambda, 5x = -5lambda, -1=lambda
Da terceira equação vem lambda=-1. Substituindo na segunda dá
5x = -5(-1)=5;Longrightarrow;x=1
Na primeira:
5y -6(1)=6(-1);Longrightarrow;5y-6=-6;Longrightarrow;5y=0;Longrightarrow;y=0
Finalmente, em z=5xy-3x^2 temos
z = 5cdot1cdot0 - 3cdot1^2 = -3
Logo
P0 = (1,0,-3)

Passo 3

O plano tangente em P0 com normal V=(6,-5,1) satisfaz
6,(x-1) -5,(y-0) +1,(z+3)=0,
que simplifica para
6x - 5y + z - 3 = 0

Resposta

P0 = (1,0,-3)
Equação do plano tangente: ;6x - 5y + z - 3 = 0

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