Forneça a função y=y(x), x in R, tal que:
d yd x=x^2+x+1 e y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede a função y=y(x) tal que
dydx = x^2 + x + 1 e y(1)=1
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, resolvida por integração direta.

Passo 2

Integramos o lado direito em relação a x. Como
integral x^2dx = x^33, integral x,dx = x^22, integral 1,dx = x,
a solução geral é
y(x) = x^33 + x^22 + x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1:
1 = 1^33 + 1^22 + 1 + C = 13 + 12 + 1 + C
Somando as frações,
13 + 12 + 1 = 2+3+66 = 116,
logo
1 = 116 + C Longrightarrow C = 1 - 116 = -56

Resposta

y(x) = x^33 + x^22 + x - 56

Exercícios relacionados