Forneça a função y=y(x), x in R, tal que:
d yd x=2 e^-x e y(0)=-4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y=y(x) satisfazendo a equação diferencial
d yd x = 2 e^-x
com a condição inicial y(0) = -4. Vamos resolver integrando ambos os lados e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos a expressão para obter y(x). Temos
y(x) = integral 2 e^-x,dx + C
onde C é a constante de integração. Calculando a integral,
integral 2 e^-x,dx = -2 e^-x,
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y(x) = -2 e^-x + C

Passo 3

Para determinar C, usamos a condição y(0) = -4. Substituindo x=0 em y(x),
y(0) = -2 e^0 + C = -2 + C = -4
Daí
C = -4 + 2 = -2

Resposta

Substituindo C=-2 em y(x), a solução é
y(x) = -2 e^-x - 2

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