Considere a função
. Calcule:
e
Passo 1
A questão pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
. O conteúdo envolve derivadas parciais de primeira e segunda ordem de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem e usar essas expressões para encontrar as de segunda ordem.
Passo 2
Vamos derivar
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
A derivada de
é
A derivada de
é
e as outras partes são constantes ou independentes de
. Logo,
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
A derivada de
é
A derivada de
é
e as outras partes são constantes ou independentes de
. Assim,
Passo 4
Com as derivadas de primeira ordem em mãos, podemos calcular
derivando
em relação a
. Para
Para
:
E
. Então
Passo 5
Agora
deriva-se
em relação a
. Para
Para
:
E
. Então
Passo 6
Para
derivamos
em relação a
. De
De
pela regra do produto:
E
some zero. Logo
Passo 7
Finalmente,
deriva
em relação a
. Seguindo processo análogo, chega-se a
confirmando
(teorema de Schwarz).
Resposta
f_{xx}(x,y)=(2+4x2)e{(x2+y2)}-y^2\cos(xy)+6x, f_{yy}(x,y)=(2+4y2)e{(x2+y2)}-x^2\cos(xy)-30y, f_{xy}(x,y)=4xy,e{(x2+y^2)}-\sin(xy)-xy\cos(xy), f_{yx}(x,y)=4xy,e{(x2+y^2)}-\sin(xy)-xy\cos(xy)