Considere a função f(x, y)=e^(x^2+y^2)+cos (x y)+x^3-5 y^3+10. Calcule:
partial^2 fpartial x^2(x, y), partial^2 fpartial y^2(x, y), partial^2 fpartial x partial y(x, y) e partial^2 fpartial y partial x(x, y)

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=e^(x^2+y^2)+cos(xy)+x^3-5y^3+10. O conteúdo envolve derivadas parciais de primeira e segunda ordem de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem e usar essas expressões para encontrar as de segunda ordem.

Passo 2

Vamos derivar f em relação a x:
A derivada de e^(x^2+y^2) em relação a x é
ddxe^(x^2+y^2)=2x,e^(x^2+y^2)
A derivada de cos(xy) é
ddxcos(xy)=-sin(xy)cdot y
A derivada de x^3 é 3x^2 e as outras partes são constantes ou independentes de x. Logo,
fx=2x,e^(x^2+y^2)-ysin(xy)+3x^2

Passo 3

Agora derivamos f em relação a y:
A derivada de e^(x^2+y^2) em relação a y é
ddye^(x^2+y^2)=2y,e^(x^2+y^2)
A derivada de cos(xy) é
ddycos(xy)=-sin(xy)cdot x
A derivada de -5y^3 é -15y^2 e as outras partes são constantes ou independentes de y. Assim,
fy=2y,e^(x^2+y^2)-xsin(xy)-15y^2

Passo 4

Com as derivadas de primeira ordem em mãos, podemos calcular fxx derivando fx em relação a x. Para
2x,e^(x^2+y^2) usamos regra do produto:
ddx(2x,e^(x^2+y^2))=2,e^(x^2+y^2)+2xcdot2x,e^(x^2+y^2)=(2+4x^2)e^(x^2+y^2)
Para -ysin(xy)):
ddx[-ysin(xy)]=-ycdot(ycos(xy))=-y^2cos(xy)
E ddx(3x^2)=6x. Então
fxx=(2+4x^2)e^(x^2+y^2)-y^2cos(xy)+6x

Passo 5

Agora fyy deriva-se fy em relação a y. Para
2y,e^(x^2+y^2) temos:
ddy(2y,e^(x^2+y^2))=2,e^(x^2+y^2)+2ycdot2y,e^(x^2+y^2)=(2+4y^2)e^(x^2+y^2)
Para -xsin(xy)):
ddy[-xsin(xy)]=-xcdot(xcos(xy))=-x^2cos(xy)
E ddy(-15y^2)=-30y. Então
fyy=(2+4y^2)e^(x^2+y^2)-x^2cos(xy)-30y

Passo 6

Para fxy derivamos fx em relação a y. De
2x,e^(x^2+y^2) vem
ddy(2x,e^(x^2+y^2))=2xcdot2y,e^(x^2+y^2)=4xy,e^(x^2+y^2)
De -ysin(xy)) pela regra do produto:
ddy[-ysin(xy)]=-sin(xy)-ycdot(xcos(xy))=-sin(xy)-xycos(xy)
E 3x^2 some zero. Logo
fxy=4xy,e^(x^2+y^2)-sin(xy)-xycos(xy)

Passo 7

Finalmente, fyx deriva fy em relação a x. Seguindo processo análogo, chega-se a
fyx=4xy,e^(x^2+y^2)-sin(xy)-xycos(xy),
confirmando fxy=fyx (teorema de Schwarz).

Resposta

f_{xx}(x,y)=(2+4x2)e{(x2+y2)}-y^2\cos(xy)+6x, f_{yy}(x,y)=(2+4y2)e{(x2+y2)}-x^2\cos(xy)-30y, f_{xy}(x,y)=4xy,e{(x2+y^2)}-\sin(xy)-xy\cos(xy), f_{yx}(x,y)=4xy,e{(x2+y^2)}-\sin(xy)-xy\cos(xy)

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