Considere a função f(x, y)=e^(x^2+y^2)+cos (x y)+x^3-5 y^3+10. Calcule:
(a) partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y)

Passo 1

O enunciado pede pra calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. O conteúdo aqui é derivada parcial, e vamos precisar usar regra da cadeia (para o termo exponencial e para o cosseno) e derivadas usuais de polinômios.

Passo 2

Para $frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$, derivamos cada termo em relação a $x$:
  • $frac{\partial}{\partial x} e{x2+y^2} = e{x2+y^2} \cdot 2x = 2x e{x2+y^2}$
  • $frac{\partial}{\partial x} \cos(xy) = -\sin(xy) \cdot y = -y\sin(xy)$
  • $frac{\partial}{\partial x} x^3 = 3x^2$
  • os outros termos não dependem de $x$ ou são constantes, então derivam zero.
    Somando tudo:

Passo 3

Para $frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$, derivamos cada termo em relação a $y$:
  • $frac{\partial}{\partial y} e{x2+y^2} = e{x2+y^2} \cdot 2y = 2y e{x2+y^2}$
  • $frac{\partial}{\partial y} \cos(xy) = -\sin(xy) \cdot x = -x\sin(xy)$
  • $frac{\partial}{\partial y} (-5y^3) = -15y^2$
  • os outros termos não dependem de $y$ ou são constantes, então derivam zero.
    Somando tudo:

Resposta

partial fpartial x(x,y)=2x e^x^2+y^2-ysin(xy)+3x^2 e partial fpartial y(x,y)=2y e^x^2+y^2-xsin(xy)-15y^2.

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