Encontre o ponto sobre a parábola
mais próximo de
Para simplificar considere encontrar o mínimo da expressão da distância (
).
Resposta:
Para simplificar considere encontrar o mínimo da expressão da distância (
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede para achar o ponto da parábola
que esteja mais próximo de
. O tema é otimização de funções com restrição (mas como a parábola já nos dá
em função de
, podemos reduzir ao estudo de uma função de uma variável). Vamos precisar escrever a distância ao quadrado em função de
e depois minimizar.
Passo 2
Parametrizamos a parábola escrevendo
. A distância ao quadrado de um ponto genérico
até
é
Passo 3
Derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
$$\frac{d}{dy}d2(y)=\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{(y2-2)2}{4}+(y-4)2\Bigr)
=y(y2-2)+2(y-4)=y3-8=0.$$
Da equação vem
. Substituindo em
obtemos
.
Da equação
Passo 4
Portanto o ponto da parábola mais próximo de
é
e a distância mínima vale
.
Resposta
O ponto mais próximo é (2,2) e a distância mínima é
.