Encontre o ponto sobre a parábola y^2=2 x mais próximo de P(1,4)
Para simplificar considere encontrar o mínimo da expressão da distância ( d^2 ).
Resposta: d=raiz5

Passo 1

O enunciado pede para achar o ponto da parábola y^2=2x que esteja mais próximo de P(1,4). O tema é otimização de funções com restrição (mas como a parábola já nos dá x em função de y, podemos reduzir ao estudo de uma função de uma variável). Vamos precisar escrever a distância ao quadrado em função de y e depois minimizar.

Passo 2

Parametrizamos a parábola escrevendo x=tfracy^22. A distância ao quadrado de um ponto genérico (x,y) até P(1,4) é
d^2(y)=l(x-1r)^2+l(y-4r)^2=l(y^22-1r)^2+(y-4)^2

Passo 3

Derivamos d^2(y) em relação a y e igualamos a zero:
$$\frac{d}{dy}d2(y)=\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{(y2-2)2}{4}+(y-4)2\Bigr)
=y(y2-2)+2(y-4)=y3-8=0.$$
Da equação ddyd^2(y)=ddyl((y^2-2)^24+(y-4)^2r) =y(y^2-2)+2(y-4)=y^3-8=0 vem y^3-8=0. Substituindo em y=2 obtemos x=tfracy^22.

Passo 4

Portanto o ponto da parábola mais próximo de P(1,4) é (2,2) e a distância mínima vale raiz(2-1)^2+(2-4)^2=raiz5.

Resposta

O ponto mais próximo é (2,2) e a distância mínima é raiz5.

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