Considere a função
. Calcule:
e
.
Passo 1
Temos a função
e queremos as derivadas parciais de segunda ordem no ponto
. Esse problema envolve derivadas parciais, usando a regra da cadeia para a exponencial, a regra do produto para o cosseno e as derivadas de polinômios.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas parciais
e
. Derivando em relação a
e
:
Passo 3
Para obter
derivamos
em relação a
. Aplicando a regra do produto e a cadeia:
No ponto
temos
e
, logo:
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
para achar
:
Avalia em
:
Passo 5
Para
derivamos
em relação a
:
Em
isso vira:
Passo 6
Finalmente,
vem de derivar
em relação a
. O cálculo dá a mesma expressão de
e, em
, fica 0. Isso confirma o teorema de Clairaut.