Considere a função f(x, y)=e^(x^2+y^2)+cos (x y)+x^3-5 y^3+10. Calcule:
partial^2 fpartial x^2(0,0), partial^2 fpartial y^2(0,0), partial^2 fpartial x partial y(0,0) e partial^2 fpartial y partial x(0,0).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e^x^2+y^2+cos(xy)+x^3-5y^3+10 e queremos as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (0,0). Esse problema envolve derivadas parciais, usando a regra da cadeia para a exponencial, a regra do produto para o cosseno e as derivadas de polinômios.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas parciais fx e fy. Derivando em relação a x e y:
fx(x,y)=2x,e^x^2+y^2-ysin(xy)+3x^2
fy(x,y)=2y,e^x^2+y^2-xsin(xy)-15y^2

Passo 3

Para obter fxx(x,y) derivamos fx em relação a x. Aplicando a regra do produto e a cadeia:
fxx(x,y)=2e^x^2+y^2+4x^2e^x^2+y^2-y^2cos(xy)+6x
No ponto (0,0) temos e^0=1 e y=0, logo:
fxx(0,0)=2cdot1+0-0+0=2

Passo 4

Agora derivamos fy em relação a y) para achar fyy(x,y):
fyy(x,y)=2e^x^2+y^2+4y^2e^x^2+y^2-x^2cos(xy)-30y
Avalia em (0,0):
fyy(0,0)=2cdot1+0-0-0=2

Passo 5

Para fxy(x,y) derivamos fx em relação a y:
fxy(x,y)=4xy,e^x^2+y^2-sin(xy)-xycos(xy)
Em (0,0) isso vira:
fxy(0,0)=0-0-0=0

Passo 6

Finalmente, fyx(x,y) vem de derivar fy em relação a x. O cálculo dá a mesma expressão de fxy(x,y) e, em (0,0), fica 0. Isso confirma o teorema de Clairaut.

Resposta

fxx(0,0)=2,;fyy(0,0)=2,;fxy(0,0)=0,;fyx(0,0)=0.

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