Considere a função
definida para todos os pares de números reais
. Mostre, pela definição, que
é deferenciável em um ponto genérico
.
Dica: escreva
e mostre que
Dica: escreva
Passo 1
Estamos considerando a função
e queremos mostrar, usando a definição de diferenciabilidade em
, que existe um mapeamento linear
tal que
seja pequeno em relação à norma de
. Precisaremos da noção de gradiente e do critério de que o resto dividido por
tende a zero.
Passo 2
Primeiro, fazemos o desenvolvimento de Taylor de primeira ordem em torno de
. Calculamos
Passo 3
Reconhecemos que a parte linear em
é exatamente
Passo 4
Pela definição de diferenciabilidade, precisamos verificar que
$$\lim_{(h_x,h_y)\to(0,0)} \frac{R(h_x,h_y)}{\sqrt{h_x2+h_y2}} = 0.
$$
Passo 5
Como
, temos
quando
. Isso mostra que o termo de resto é
.
Resposta
Portanto, pela definição de diferenciabilidade, f é diferenciável em qualquer ponto
e sua diferencial é dada por