Considere a função f(x, y)=x^2+y^2 definida para todos os pares de números reais (x, y). Mostre, pela definição, que f é deferenciável em um ponto genérico (x0, y0).
Dica: escreva
f(x0+hx, y0+hy)=x0^2+y0^2+2 y0 hy+2 x0 hx+hx^2+hy^2
e mostre que lim (hx, hy) (0,0)[hx hxhx^2+hy^2+hy hxhx^2+hy^2]=0

Passo 1

Estamos considerando a função f(x,y)=x^2+y^2 e queremos mostrar, usando a definição de diferenciabilidade em (x0,y0), que existe um mapeamento linear L tal que f(x0+hx,y0+hy)-f(x0,y0)-L(hx,hy) seja pequeno em relação à norma de (hx,hy). Precisaremos da noção de gradiente e do critério de que o resto dividido por raizhx^2+hy^2 tende a zero.

Passo 2

Primeiro, fazemos o desenvolvimento de Taylor de primeira ordem em torno de (x0,y0). Calculamos
f(x0+hx,y0+hy) = (x0+hx)^2+(y0+hy)^2 = x0^2+2x0hx+hx^2 + y0^2+2y0hy+hy^2

Passo 3

Reconhecemos que a parte linear em hx,hy é exatamente
L(hx,hy)=2x0hx+2y0hy, e que o resto não linear é
R(hx,hy)=hx^2+hy^2

Passo 4

Pela definição de diferenciabilidade, precisamos verificar que
$$\lim_{(h_x,h_y)\to(0,0)} \frac{R(h_x,h_y)}{\sqrt{h_x2+h_y2}} = 0.
$$

Passo 5

Como R(hx,hy)=hx^2+hy^2, temos
0 <= hx^2+hy^2raizhx^2+hy^2 = raizhx^2+hy^2 to 0
quando (hx,hy)to(0,0). Isso mostra que o termo de resto é o(raizhx^2+hy^2).

Resposta

Portanto, pela definição de diferenciabilidade, f é diferenciável em qualquer ponto (x0,y0) e sua diferencial é dada por
Df(x0,y0)(hx,hy)=2x0hx+2y0hy

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