Sejam
e
duas funções diferenciáveis em um ponto
. Mostre que
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos duas funções diferenciáveis em um ponto
, então a soma delas também é diferenciável nesse ponto. Vamos usar a definição de diferenciabilidade em
: uma função
é diferenciável em
se existe um mapa linear
tal que
.
Passo 2
Como
e
são diferenciáveis em
, existem mapas lineares
e
e restos
,
tais que
com
Passo 3
Somando as duas expansões obtemos
Passo 4
Agora, o resto total
satisfaz
Logo, temos a expansão linear de
Resposta
A função
é diferenciável em
e seu diferencial é dado por
.