Sejam f(x, y, z) e g(x, y, z) duas funções diferenciáveis em um ponto (x0, y0, z0). Mostre que f+g é diferenciável no ponto (x0, y0, z0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos duas funções diferenciáveis em um ponto (x0,y0,z0), então a soma delas também é diferenciável nesse ponto. Vamos usar a definição de diferenciabilidade em R^3: uma função h é diferenciável em p se existe um mapa linear L tal que h(p+De.

Passo 2

Como f e g são diferenciáveis em p=(x0,y0,z0), existem mapas lineares Lf e Lg e restos Rf(De, Rg(De tais que
f(p+De
g(p+De
com limDe e limDe.

Passo 3

Somando as duas expansões obtemos

Passo 4

Agora, o resto total Rf(De satisfaz
Rf(De
Logo, temos a expansão linear de f+g com resto o(|De, o que prova que f+g é diferenciável em p e que seu diferencial é a soma dos diferenciais de f e g.

Resposta

A função f+g é diferenciável em (x0,y0,z0) e seu diferencial é dado por d(f+g)(x0,y0,z0)=df(x0,y0,z0)+dg(x0,y0,z0).

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