Considere a função
, definida para todos os pares de números reais
.
é diferenciável no ponto
?
Dica: calcule as derivadas parciais de
por limites laterais.
Dica: calcule as derivadas parciais de
Passo 1
A questão pede pra gente verificar se a função
é diferenciável no ponto (1,-1). O conteúdo envolve funções definidas por partes e derivadas parciais via limites laterais.
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor de f no ponto. Como (1,-1) está na fronteira y=−x, usamos o trecho y\le−x. Logo:
Passo 3
Agora, vamos à derivada parcial em relação a x por definição:
Para h<0, o ponto (1+h,-1) satisfaz y\le−(1+h), então f(1+h,-1)=1-(-1)=2. Assim,
Para h>0, (1+h,-1) cai em y>−x, então f(1+h,-1)=1+(1+h)=2+h e
Passo 4
Como os limites laterais são diferentes (0 à esquerda e 1 à direita), a derivada parcial
em (1,-1) não existe. Se uma das derivadas parciais não existe, não há como ter um diferencial linear que sirva de aproximação. Portanto, f não é diferenciável em (1,-1).
Resposta
A função f não é diferenciável no ponto (1,-1).