Considere a função f(x, y)=ll1-y, & y <=-x 1+x, & y>-x, definida para todos os pares de números reais (x, y).
f é diferenciável no ponto (1,-1) ?
Dica: calcule as derivadas parciais de f por limites laterais.

Passo 1

A questão pede pra gente verificar se a função
f(x,y)= 1-y,&y<= -x 1+x,&y>-x
é diferenciável no ponto (1,-1). O conteúdo envolve funções definidas por partes e derivadas parciais via limites laterais.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de f no ponto. Como (1,-1) está na fronteira y=−x, usamos o trecho y\le−x. Logo:
f(1,-1)=1-(-1)=2

Passo 3

Agora, vamos à derivada parcial em relação a x por definição:
partial fpartial x(1,-1)=limhto0f(1+h,-1)-f(1,-1)h
Para h<0, o ponto (1+h,-1) satisfaz y\le−(1+h), então f(1+h,-1)=1-(-1)=2. Assim,
limhto0^-2-2h=0
Para h>0, (1+h,-1) cai em y>−x, então f(1+h,-1)=1+(1+h)=2+h e
limhto0^+(2+h)-2h=limhto0^+hh=1

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes (0 à esquerda e 1 à direita), a derivada parcial partial f/partial x em (1,-1) não existe. Se uma das derivadas parciais não existe, não há como ter um diferencial linear que sirva de aproximação. Portanto, f não é diferenciável em (1,-1).

Resposta

A função f não é diferenciável no ponto (1,-1).

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