Seja f:[0,1] times[0,1] R uma função contínua tal que partial fpartial x(x0, y0)=alpha e partial fpartial y(x0, y0)=0 para todos os pontos (x0, y0) in] 0,1[times] 0,1[.
Encontre uma expressão para f(x, y).

Passo 1

Temos uma função contínua f:[0,1]times[0,1]to R diferenciável em ]0,1[times]0,1[ cujas derivadas parciais satisfazem partial f/partial x(x0,y0)=alpha e partial f/partial y(x0,y0)=0. O conteúdo aqui é integração de derivadas parciais e vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a derivadas parciais.

Passo 2

Como dfracpartial fpartial x(x,y)=alpha é constante, integramos ambos os lados em relação a x, mantendo y fixo. Isso dá
f(x,y)=alpha x + h(y),
onde h(y) é a ‘constante’ de integração que pode depender de y.

Passo 3

Para determinar h(y), usamos dfracpartial fpartial y(x,y)=0. Calculando a derivada de f(x,y)=alpha x + h(y) em relação a y obtemos
partial fpartial y(x,y)=h'(y)=0
Logo, h'(y)=0 implica que h(y) é constante. Chamando essa constante de C, temos h(y)=C.

Passo 4

Substituindo h(y)=C na expressão de f(x,y), concluímos que
f(x,y)=alpha x + C,
onde C é uma constante real.

Resposta

f(x,y)=\alpha x + C, onde C \in \mathbb{R}

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