Seja
uma função contínua tal que
e
para todos os pontos
.
Encontre uma expressão para
.
Encontre uma expressão para
Passo 1
Temos uma função contínua
diferenciável em
cujas derivadas parciais satisfazem
e
. O conteúdo aqui é integração de derivadas parciais e vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a derivadas parciais.
Passo 2
Como
é constante, integramos ambos os lados em relação a
, mantendo
fixo. Isso dá
onde
é a ‘constante’ de integração que pode depender de
.
Passo 3
Para determinar
, usamos
. Calculando a derivada de
em relação a
obtemos
Logo,
implica que
é constante. Chamando essa constante de
, temos
.
Passo 4
Substituindo
na expressão de
, concluímos que
onde
é uma constante real.
Resposta
f(x,y)=\alpha x + C, onde C \in \mathbb{R}