Considere a função f:[-2,3] R definida da seguinte maneira:
i. uma semi-reta no intervalo [-2,0) tal que -1 é zero da função f neste intervalo, |f(-2)|=2 e a função f é crescente neste intervalo.
ii. um arco de parábola no intervalo [0,3] cujo vértice é o ponto (32,-1) e 0 é um zero da função neste intervalo.
Determine a lei da função em [-2,3].

Passo 1

O enunciado pede uma função definida por partes em [-2,3], com dois trechos: uma reta em [-2,0) e uma parábola em [0,3]. Vamos usar as condições dadas para determinar cada trecho.

Passo 2

Na parte linear em [-2,0): sabemos que f(-1)=0 (zero da função) e |f(-2)|=2. Como f é crescente, f(-2)<f(-1)=0, logo f(-2)=-2. A reta passa por (-2,-2) e (-1,0). O coeficiente angular é m=2, e achamos o termo independente b=2. Assim:
f(x)=2x+2, xin[-2,0)

Passo 3

Na parte quadrática em [0,3]: como o vértice é (3/2,-1), escrevemos a forma vértice
$$
f(x)=a\bigl(x-\tfrac32\bigr)^2-1. f(x)=al(x-tfrac32r)^2-1ã
f(x)=\frac49\bigl(x-\tfrac32\bigr)^2-1,\quad x\in[0,3].
$$

Passo 4

Juntando os dois trechos, a lei de f em [-2,3] fica definida por:
f(x)= 2x+2,&-2<= x<0, 49l(x-tfrac32r)^2-1,&0<= x<=3

Resposta

[See the last displayed piecewise formula above]

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