Considere as funções
e
. Encontre, se existir,
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para achar, se existir, o valor real de x que satisfaz (g∘f)(x)=e, onde f(x)=ln\left((x-3)/(2x+3)\right) e g(x)=e^{-2x+1}. O conteúdo envolve funções compostas, propriedades do logaritmo natural e da exponencial, além de verificar o domínio de f.
Passo 2
Primeiro, escrevemos g(f(x)) explicitamente. Como g(u)=e^{-2u+1}, temos:
Passo 3
Para resolver
, igualamos os expoentes, já que a função exponencial é injetora:
Passo 4
Agora, f(x)=0 significa ln\left((x-3)/(2x+3)\right)=0. Aplicamos a definição do logaritmo: ln(v)=0 implica v=1. Logo:
Passo 5
Por fim, verificamos o domínio de f: é necessário (x-3)/(2x+3)>0 e 2x+3≠0. Para x=-6, temos ( -6-3 )/(2·(-6)+3)=(-9)/(-9)=1>0 e 2x+3=-9≠0. Portanto x=-6 é válido.
Resposta
x = -6