Considere as funções f(x)=ln (x-32 x+3) e g(x)=e^-2 x+1. Encontre, se existir, x in R tal que (g circ f)(x)=e.

Passo 1

O enunciado pede para achar, se existir, o valor real de x que satisfaz (g∘f)(x)=e, onde f(x)=ln\left((x-3)/(2x+3)\right) e g(x)=e^{-2x+1}. O conteúdo envolve funções compostas, propriedades do logaritmo natural e da exponencial, além de verificar o domínio de f.

Passo 2

Primeiro, escrevemos g(f(x)) explicitamente. Como g(u)=e^{-2u+1}, temos:
(gcirc f)(x)=e^-2,f(x)+1 Queremos que isso seja igual a e, ou seja:
e^-2,f(x)+1=e

Passo 3

Para resolver e^-2,f(x)+1=e, igualamos os expoentes, já que a função exponencial é injetora:
-2,f(x)+1=1 Rightarrow -2,f(x)=0 Rightarrow f(x)=0

Passo 4

Agora, f(x)=0 significa ln\left((x-3)/(2x+3)\right)=0. Aplicamos a definição do logaritmo: ln(v)=0 implica v=1. Logo:
x-32x+3=1 Rightarrow x-3=2x+3 Rightarrow -6=x

Passo 5

Por fim, verificamos o domínio de f: é necessário (x-3)/(2x+3)>0 e 2x+3≠0. Para x=-6, temos ( -6-3 )/(2·(-6)+3)=(-9)/(-9)=1>0 e 2x+3=-9≠0. Portanto x=-6 é válido.

Resposta

x = -6

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