Considere a função
e o ponto
.
a) Calcule o gradiente de f, isto é,
.
b) Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção de
.
c) Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção
.
d) Em qual direção a função cresce mais rapidamente no ponto P? Justifique sua resposta.
a) Calcule o gradiente de f, isto é,
b) Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção de
c) Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção
d) Em qual direção a função cresce mais rapidamente no ponto P? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. As perguntas são:
- (a) Calcular o gradiente
. - (b) Calcular a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor . - (c) Calcular a derivada direcional de
no ponto na direção de (ou seja, na direção que faz com o eixo positivo). - (d) Determinar em qual direção a função cresce mais rapidamente no ponto
e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
. - O ponto de avaliação
. - Para (b) a direção dada é
. - Para (c) a direção é
do eixo .
Passo 2
Entender o que é o gradiente e como calculá-lo (aula rápida e prática).
- O gradiente de
, denotado , é o vetor das derivadas parciais. Ele aponta na direção de maior crescimento instantâneo de e tem componentes:
- A derivada parcial
é a taxa de variação de quando variamos mantendo fixo; similarmente para .
Agora calculamos as derivadas parciais de
.
- Para
: trate como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é (pois é constante multiplicando ). Logo,
- Para
: trate como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é . Logo,
Portanto o gradiente geral é
Passo 3
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Substituímos
e em :
- Calculemos explicitamente:
, então . Para a segunda componente, .
Passo 4
Definição e fórmula da derivada direcional (mini-aula).
- A derivada direcional de
em na direção do vetor unitário é dada por
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário na direção desejada.
- Importante: se a direção for dada por um vetor
que não é unitário, primeiro normaliza-se: . Isso porque a fórmula exige um vetor de módulo .
Agora aplicamos isso para a direção
.
- Calcule o comprimento de
:
- O vetor unitário correspondente é
- Usamos
. Então
- Calcule o produto escalar:
- Simplificando
. Portanto
Passo 5
Derivada direcional para a direção
(outra aplicação prática).
- A direção que faz
com o eixo positivo tem vetor unitário
- Aplicando a fórmula
com :
- Simplificando
. Portanto
Passo 6
Direção de maior crescimento em
e justificativa (teoria + cálculo).
- Teoria (intuitiva): a derivada direcional
. Como é unitário, pelo Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
A igualdade acontece exatamente quando
é paralelo a
. Isso significa: o crescimento máximo acontece na direção do gradiente, e o valor máximo é o módulo do gradiente.
- Aplicando ao caso:
. O módulo é
- Assim o máximo da derivada direcional em
é , obtido quando a direção unitária é paralela a . O vetor unitário nessa direção é
- Conclusão: a função cresce mais rapidamente no ponto
na direção do vetor (ou, se pedir unitário, ), e a taxa máxima de aumento é .
Resposta
(a)
e
(b)
(c)
(d) A função cresce mais rapidamente na direção de (vetor unitário
); a taxa máxima de aumento é
.
(b)
(c)
(d) A função cresce mais rapidamente na direção de