Considere a função f(x, y)=x^{2}+3 x y^{2} e o ponto P=(1,2).
a) Calcule o gradiente de f, isto é, \nabla \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}).
b) Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção de \mathrm{v}=(2,1).
c) Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção 45^{\circ}.
d) Em qual direção a função cresce mais rapidamente no ponto P? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+3xy^{2} e o ponto P=(1,2). As perguntas são:
  • (a) Calcular o gradiente \nabla f(x,y).
  • (b) Calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \mathbf{v}=(2,1).
  • (c) Calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção de 45^\circ (ou seja, na direção que faz 45^\circ com o eixo x positivo).
  • (d) Determinar em qual direção a função cresce mais rapidamente no ponto P e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y)=x^{2}+3xy^{2}.
  • O ponto de avaliação P=(1,2).
  • Para (b) a direção dada é \mathbf{v}=(2,1).
  • Para (c) a direção é 45^\circ do eixo x.

Passo 2

Entender o que é o gradiente e como calculá-lo (aula rápida e prática).
  • O gradiente de f, denotado \nabla f(x,y), é o vetor das derivadas parciais. Ele aponta na direção de maior crescimento instantâneo de f e tem componentes:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando variamos x mantendo y fixo; similarmente para \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+3xy^{2}.
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}: trate y como constante. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. A derivada de 3x y^{2} em relação a x é 3y^{2} (pois y^{2} é constante multiplicando x). Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y^{2}.
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}: trate x como constante. A derivada de x^{2} em relação a y é 0. A derivada de 3x y^{2} em relação a y é 3x\cdot 2y=6xy. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=6xy.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\bigl(2x+3y^{2},\,6xy\bigr).

Passo 3

Avaliar o gradiente no ponto P=(1,2).
  • Substituímos x=1 e y=2 em \nabla f(x,y):
\nabla f(1,2)=\bigl(2\cdot 1 + 3\cdot 2^{2},\;6\cdot 1\cdot 2\bigr).
  • Calculemos explicitamente: 2\cdot 1 =2, 2^{2}=4 então 3\cdot 4=12. Para a segunda componente, 6\cdot 1\cdot 2=12.
\nabla f(1,2)=(2+12,\,12)=(14,\,12).

Passo 4

Definição e fórmula da derivada direcional (mini-aula).
  • A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário na direção desejada.
  • Importante: se a direção for dada por um vetor \mathbf{v} que não é unitário, primeiro normaliza-se: \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}. Isso porque a fórmula exige um vetor de módulo 1.
Agora aplicamos isso para a direção \mathbf{v}=(2,1).
  • Calcule o comprimento de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • O vetor unitário correspondente é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}\,(2,1)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
  • Usamos \nabla f(1,2)=(14,12). Então
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \mathbf{u} =(14,12)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
  • Calcule o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\frac{14\cdot 2 + 12\cdot 1}{\sqrt{5}}=\frac{28+12}{\sqrt{5}}=\frac{40}{\sqrt{5}}.
  • Simplificando \frac{40}{\sqrt{5}}=\frac{40\sqrt{5}}{5}=8\sqrt{5}. Portanto
D_{\mathbf{v}}f(1,2)=8\sqrt{5}.

Passo 5

Derivada direcional para a direção 45^\circ (outra aplicação prática).
  • A direção que faz 45^\circ com o eixo x positivo tem vetor unitário
\mathbf{u}_{45}=(\cos 45^\circ,\sin 45^\circ)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Aplicando a fórmula D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} com \nabla f(1,2)=(14,12):
D_{45^\circ}f(1,2)=(14,12)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{14+12}{\sqrt{2}}=\frac{26}{\sqrt{2}}.
  • Simplificando \frac{26}{\sqrt{2}}=\frac{26\sqrt{2}}{2}=13\sqrt{2}. Portanto
D_{45^\circ}f(1,2)=13\sqrt{2}.

Passo 6

Direção de maior crescimento em P e justificativa (teoria + cálculo).
  • Teoria (intuitiva): a derivada direcional D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}. Como \mathbf{u} é unitário, pelo Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}\le \|\nabla f(P)\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\nabla f(P)\|.
A igualdade acontece exatamente quando \mathbf{u} é paralelo a \nabla f(P). Isso significa: o crescimento máximo acontece na direção do gradiente, e o valor máximo é o módulo do gradiente.
  • Aplicando ao caso: \nabla f(1,2)=(14,12). O módulo é
\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{14^{2}+12^{2}}=\sqrt{196+144}=\sqrt{340}=2\sqrt{85}.
  • Assim o máximo da derivada direcional em P é 2\sqrt{85}, obtido quando a direção unitária é paralela a (14,12). O vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u}_{\max}=\frac{1}{\|\nabla f(1,2)\|}(14,12)=\left(\frac{14}{2\sqrt{85}},\frac{12}{2\sqrt{85}}\right)=\left(\frac{7}{\sqrt{85}},\frac{6}{\sqrt{85}}\right).
  • Conclusão: a função cresce mais rapidamente no ponto P na direção do vetor \nabla f(1,2)=(14,12) (ou, se pedir unitário, \left(\dfrac{7}{\sqrt{85}},\dfrac{6}{\sqrt{85}}\right)), e a taxa máxima de aumento é 2\sqrt{85}.

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\bigl(2x+3y^{2},\,6xy\bigr) e \nabla f(1,2)=(14,12)
(b) D_{\mathbf{v}}f(1,2)=8\sqrt{5}
(c) D_{45^\circ}f(1,2)=13\sqrt{2}
(d) A função cresce mais rapidamente na direção de \nabla f(1,2)=(14,12) (vetor unitário \left(\dfrac{7}{\sqrt{85}},\dfrac{6}{\sqrt{85}}\right)); a taxa máxima de aumento é 2\sqrt{85}.

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