A temperatura de um ponto \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) em uma chapa é dada por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=2 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}^{2}+15.
a) Se a partir do ponto (1 / 2,2) nos movermos no sentido positivo do eixo x , a temperatura aumenta ou diminui? Em quantos graus por centímetro aproximadamente?
b) Em que ponto (a, b) a temperatura vale 45{ }^{\circ} \mathrm{C}, sendo a taxa de variação da temperatura com relação à distância percorrida na direção do eixo x (sentido positivo), igual a 12{ }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{cm}. (Considere a e b positivos).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Função temperatura: T(x,y)=2x^{2}+3y^{2}+15.
  • Pergunta (a): a partir do ponto \left(\tfrac{1}{2},2\right), se nos movermos no sentido positivo do eixo x, a temperatura aumenta ou diminui? Em quantos graus por centímetro aproximadamente?
  • Pergunta (b): encontrar o ponto (a,b) (com a>0, b>0) tal que T(a,b)=45^\circ\mathrm{C} e a taxa de variação da temperatura com relação à distância percorrida na direção do eixo x (sentido positivo) é 12^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}.

Passo 2

Conceito importante e como vamos usar: taxa de variação na direção do eixo x.
  • A derivada parcial de T em relação a x, denotada \dfrac{\partial T}{\partial x} ou T_x, dá a taxa de variação da temperatura por unidade de deslocamento na direção do eixo x (sentido positivo), mantendo y fixo. Em palavras: se eu ando um pequeno comprimento \Delta x para a direita, a variação aproximada da temperatura é T_x\,\Delta x.
  • Podemos calcular T_x tomando a derivada de T em relação a x (tratando y como constante). Usando regras básicas de derivação (derivada de x^2 é 2x, multiplicadores escalam o resultado):
T_x=\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x^{2}+3y^{2}+15\right).
  • A parte que depende de x é 2x^{2}. Derivando: \dfrac{d}{dx}(2x^{2})=2\cdot 2x=4x. Os termos 3y^{2} e 15 são constantes em relação a x, portanto têm derivada zero. Logo:
T_x=4x.
  • Para referência completa, o vetor gradiente (não exigido, mas útil) é
\nabla T=(T_x,T_y)=(4x,6y),
e a derivada direcional na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(1,0) (sentido positivo de x) é \nabla T\cdot\mathbf{u}=4x, que é exatamente T_x.

Passo 3

Resolver a parte (a) usando o que aprendemos.
  • Avaliamos T_x no ponto \left(\tfrac{1}{2},2\right):
T_x\!\left(\tfrac{1}{2},2\right)=4\cdot\frac{1}{2}=2.
  • Interpretando: T_x=2 significa que, se nos deslocarmos um centímetro no sentido positivo do eixo x (mantendo y fixo), a temperatura aumenta aproximadamente 2^\circ\mathrm{C}. O sinal positivo indica aumento.
Portanto, a temperatura aumenta, a uma taxa de 2^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}, no ponto dado.

Passo 4

Agora a parte (b): usar que a taxa de variação na direção positiva de x é 12^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm} e que T(a,b)=45^\circ\mathrm{C}.
  • Como a taxa nessa direção é T_x(a,b)=4a, a condição dada é
4a=12.
  • Resolver essa equação para a:
a=\frac{12}{4}=3.

Passo 5

Encontrar b usando T(a,b)=45^\circ\mathrm{C} com a=3.
  • Substituir a=3 em T:
T(3,b)=2\cdot 3^{2}+3b^{2}+15.
  • Calcular 2\cdot 3^{2}=2\cdot9=18. Assim,
T(3,b)=18+3b^{2}+15=33+3b^{2}.
  • Impor T(3,b)=45:
33+3b^{2}=45.
  • Subtrair 33:
3b^{2}=12 \quad\Rightarrow\quad b^{2}=4.
  • Como o enunciado pede b>0, escolhemos b=2.
  • Verificação rápida: T_x(3,2)=4\cdot3=12 (ok) e T(3,2)=33+3\cdot4=33+12=45^\circ\mathrm{C} (ok).

Passo 6

Resumo final e incentivo rápido: concluímos que na posição pedida a taxa é positiva (logo temperatura aumenta) e que o ponto procurado é (3,2). Você já aprendeu aqui por que a derivada parcial em x é a taxa ao se mover ao longo do eixo x — essa é uma ferramenta que cai direto na prova. Vai dar certo, respira e revisa estes passos com calma mais uma vez!

Resposta

(a) Aumenta; \,2^\circ\mathrm{C}/\mathrm{cm}
(b) (3,2)

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