A temperatura de um ponto
em uma chapa é dada por
.
a) Se a partir do ponto
nos movermos no sentido positivo do eixo x , a temperatura aumenta ou diminui? Em quantos graus por centímetro aproximadamente?
b) Em que ponto (a, b) a temperatura vale
, sendo a taxa de variação da temperatura com relação à distância percorrida na direção do eixo x (sentido positivo), igual a
. (Considere a e b positivos).
a) Se a partir do ponto
b) Em que ponto (a, b) a temperatura vale
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Função temperatura:
- Pergunta (a): a partir do ponto
, se nos movermos no sentido positivo do eixo , a temperatura aumenta ou diminui? Em quantos graus por centímetro aproximadamente? - Pergunta (b): encontrar o ponto
(com ) tal que e a taxa de variação da temperatura com relação à distância percorrida na direção do eixo (sentido positivo) é .
Passo 2
Conceito importante e como vamos usar: taxa de variação na direção do eixo
.
- A derivada parcial de
em relação a , denotada ou , dá a taxa de variação da temperatura por unidade de deslocamento na direção do eixo (sentido positivo), mantendo fixo. Em palavras: se eu ando um pequeno comprimento para a direita, a variação aproximada da temperatura é . - Podemos calcular
tomando a derivada de em relação a (tratando como constante). Usando regras básicas de derivação (derivada de é , multiplicadores escalam o resultado):
- A parte que depende de
é . Derivando: . Os termos e são constantes em relação a , portanto têm derivada zero. Logo:
- Para referência completa, o vetor gradiente (não exigido, mas útil) é
e a derivada direcional na direção do vetor unitário
(sentido positivo de
) é
, que é exatamente
.
Passo 3
Resolver a parte (a) usando o que aprendemos.
- Avaliamos
no ponto :
- Interpretando:
significa que, se nos deslocarmos um centímetro no sentido positivo do eixo (mantendo fixo), a temperatura aumenta aproximadamente . O sinal positivo indica aumento.
Portanto, a temperatura aumenta, a uma taxa de
, no ponto dado.
Passo 4
Agora a parte (b): usar que a taxa de variação na direção positiva de
é
e que
.
- Como a taxa nessa direção é
, a condição dada é
- Resolver essa equação para
:
Passo 5
Encontrar
usando
com
.
- Substituir
em :
- Calcular
. Assim,
- Impor
:
- Subtrair
:
-
Como o enunciado pede
, escolhemos . -
Verificação rápida:
(ok) e (ok).
Passo 6
Resumo final e incentivo rápido: concluímos que na posição pedida a taxa é positiva (logo temperatura aumenta) e que o ponto procurado é
. Você já aprendeu aqui por que a derivada parcial em
é a taxa ao se mover ao longo do eixo
— essa é uma ferramenta que cai direto na prova. Vai dar certo, respira e revisa estes passos com calma mais uma vez!
Resposta
(a) Aumenta;
(b)
(b)